数学选修2-2推理与证明

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1、第二章阶段复习课一、合情推理与演绎推理1.归纳推理和类比推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳).由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).特征归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理.类比推理是由特殊到特殊的推理.2.合情推理(1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理.(2)对合情推理的认

2、识:归纳推理合情推理类比推理3.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理(逻辑推理).(2)特点：由一般到特殊的推理.(3)演绎推理是数学中证明的基本推理形式.演绎推理的一般模式——“三段论”：①大前提：已知的一般原理(M是P);②小前提：所研究的特殊情况(S是M);③结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断(S是P).二、综合法和分析法1.综合法(1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．又叫顺推证法或由因导果法.(2)其推理方式可

3、用框图表示为：其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，Q1,Q2,…表示中间结论．综合法常用的表达格式为：∵P，∴Q1;又∵Q1，∴Q2;…;又∵Qn，∴Q.2.分析法(1)定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法.又叫逆推证法或执果索因法.(2)其推理方式可用框图表示为：其中Q表示要证明的结论．【辨析】综合法与分析法的比较综合法与分析法是直接证明的两种基本方法，两种方法各有优缺点.分析法解题方向较为明确，容易寻

4、找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简便地解决问题，但不便于思考.实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后用综合法有条理地表述解题过程.三、反证法1.反证法一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.2.反证法的证明过程包括以下三个步骤四、数学归纳法1.数学归纳法的含义证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立.(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n

5、0，k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．2.对数学归纳法的几点认识(1)数学归纳法是一种完全归纳的证明方法，它适用于与正整数有关的问题.(2)两个步骤缺一不可，否则不能说明结论成立.(3)在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，进行恒等变换.(4)完成第(1)和(2)证明后，要对命题成立进行总结.请你根据下面的体系图快速回顾本章内容，从备选答案中选择准确选项，填在图中的相应位置，构建出清晰的知识网络吧！AGCFEDBH【备选答案】A.归纳推理B.间接证明C.演绎推理

6、D.分析法E.由因导果F.结论G.由特殊到特殊的推理H.数学归纳法一、合情推理1.类比可以是形式的类比，用于发现结论；也可以是方法的类比，用于寻找方法.常见的类比有平面空间，等差数列　等比数列，实数复数，向量点乘积实数积等.2.合情推理与演绎推理既有联系又有区别，它们相辅相成，前者是后者的前提，后者又论证前者的可靠性.【例1】(1)设f(x)=又记f1(x)=f(x),f(k+1)(x)=f［fk(x)］,k=1,2,…，则f2012(x)等于()(A)(B)x(C)(D)(2)已知数列{an}为等差数列，若am=a,an=b(n-m≥1,m,n∈N*)，则　类比

7、等差数列{an}的上述结论，对于等比数列{bn}(bn＞0,n∈N*)，若bm=c,bn=d(n-m≥2,m,n∈N*)，则可以得到bm+n=__________.(3)设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12成等差数列.类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn,则T4，_________，___________，　成等比数列.【解析】(1)选B.计算归纳得f4k(x)=x,k∈N*，从而f2012(x)=x.(2)观察等差数列{an}的性质：am+n=则联想nb-ma对应