平面向量中的最值问题浅析

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1、平面向量中的最值问题浅析耿素兰山西平定二中（045200）平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、基本运算和性质为主，解决此类问题要注意正确运用相关知识，合理转化。一、利用函数思想方法求解例1、给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是________.图11分析：寻求刻画点变化的变量，建立目标与此变量的函数关系是解决最值问题的常用途径。解：设，以点为原点，为轴建立直角坐标系，则，，。即。因此，当时，取最大值2。例2、已知点Q为射线OP上的一个动点，当取最小值时，求分析：因为

2、点Q在射线OP上，向量与同向，故可以得到关于坐标的一个关系式，再根据取最小值求解：设，则当时，取最小值-8，此时二、利用向量的数量积求最值例3、三边长为，以A为圆心,r为半径作圆,PQ为直径，试判断P、Q在什么位置时，有最大值。分析：用已知向量表示未知向量，然后用数量积的性质求解。解：图21当且仅当与同向时，有最大值。三、利用向量模的性质求解例4：已知求的最大值与最小值。分析：注意到，考虑用向量模的性质求解。解：由条件知。设，则=，，。所以当与同向时，取最大值3；当与反向时，取最小值1。四、利用几何意义，数形结合求解例5、如图，已知正六边形

3、，下列向量的数量积中最大的是（A）（B）图3（C）（D）分析：平面向量数量积的几何意义为等于的长度与在方向上的投影的乘积。显然，由图可知，在方向上的投影最大，故选（A）。例6、是两个夹角为1200的单位向量，且p+q=1（p、qR），则的最小值是分析:如图3，设则即因此点C在直线AB上，显然当OCAB时，最小，其最小值为。COAB图4