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1、§4.4差分方程建模一、差分方程简介以t表示时间，规定t只取非负整数。t=0表示第一周期初，t=1表示第二周期初等。记yt为变量y在时刻t时的取值，则称为yt的一阶差分，称为的二阶差分。类似地，可以定义yt的n阶差分。由t、yt及yt的差分给出的方程称为yt差分方程，其中含的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程也可改写成满足一差分方程的序列yt称为此差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分
2、方程的通解。若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解，例如，考察两阶差分方程易见与均是它的特解，而则为它的通解，其中c1，c2为两个任意常数。类似于微分方程，称差分方程为n阶线性差分方程，当≠0时称其为n阶非齐次线性差分方程，而则被称为方程对应的齐次线性差分方程。若所有的ai(t)均为与t无关的常数，则称其为常系数差分方程，即n阶常系数线性差分方程可分成（4.15）的形式，其对应的齐次方程为（4.16）容易证明，若序列与均为方程（4.16）的解，则也是方程（4.16）的解，其中c1、c
3、2为任意常数，这说明，齐次方程的解构成一个线性空间（解空间）。此规律对于（4.15）也成立。方程（4.15）可用如下的代数方法求其通解：（步一）先求解对应的特征方程（4.17）（步二）根据特征根的不同情况，求齐次方程(4.16)的通解情况1若特征方程（4.17）有n个互不相同的实根,…,，则齐次方程（4.16）的通解为(C1,…,Cn为任意常数)，情况2若λ是特征方程（4.17）的k重根，通解中对应于λ的项为为任意常数，i=1,…,k。情况3若特征方程（4.17）有单重复根通解中对应它们的项为为λ
4、的模，为λ的幅角。情况4若为特征方程（4.17）的k重复根，则通解对应于它们的项为为任意常数，i=1,…,2k。.若yt为方程(4.16)的通解,则非齐次方程(4.15)的通解为（步三）求非齐次方程(4.15)的一个特解求非齐次方程（4.15）的特解一般要用到常数变易法，计算较繁。对特殊形式的b(t)也可使用待定系数法。例4.13求解两阶差分方程解对应齐次方程的特征方程为，其特征根为，对应齐次方程的通解为原方程有形如的特解。代入原方程求得，，故原方程的通解为在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出
5、方程的通解，在给定初值后，通常可用计算机迭代求解，但我们常常需要讨论解的稳定性。对差分方程(4.15),若不论其对应齐次方程的通解中任意常数C1,…,Cn如何取值,在时总有,则称方程(7.14)的解是稳定的,否则称其解为不稳定的.根据通解的结构不难看出,非齐次方程(4.15)稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于1。例4.14（市场经济的蛛网模型）在自由竞争的市场经济中，商品的价格是由市场上该商品的供应量决定的，供应量越大，价格就越低。另一方面，生产者提供的商品数量又是由该商品的价格决定的，价格上
6、升将刺激生产者的生产积极性，导致商品生产量的增加。反之，价格降低会影响生产者的积极性，导致商品生产量的下降。在市场经济中，对每一商品事实上存在着两个不同的函数：（1）供应函数x=f(P)，它是价格P的单增函数，其曲线称为供应曲线。（2）需求函数x=g(P)，它是价格P的单降函数，其曲线称为需求曲线，供应曲线与需求曲线的形状如图所示。记t时段初市场上的供应量(即上一时段的生产量)为xt，市场上该商品的价格为Pt。商品成交的价格是由需求曲线决定的，即随着,Mt将趋于平衡点M*,即商品量将趋于平衡量x*
7、,价格将趋于平衡价格P*。图中的箭线反映了在市场经济下该商品的供应量与价格的发展趋势。xoPP0P2P*P1xx1x2x0x*需求曲线供应曲线M0M2M1M*①PoM3M2M1②但是，如果供应曲线和需求曲线呈图①中的形状，则平衡点M*是不稳定的，Mt将越来越远离平衡点。图①和图②的区别在哪里，如何判定平衡点的稳定性呢？但是，如果供应曲线和需求曲线呈图②中的形状，则平衡点M*是不稳定的，Mt将越来越远离平衡点。即使初始时刻的供应量和价格对应于平衡点，一点微小的波动也会导致市场供求出现越来越大的混乱。
8、上述用图示法分析市场经济稳定性的讨论在经济学中被称为市场经济的蛛网模型。不难看出，在图①中平衡点M*处供应曲线的切线斜率大于需求曲线切线斜率的绝对值，而在图②中情况恰好相反。现在利用差分方程方法来研究蛛网模型，以验证上述猜测是否正确。我们知道，平衡点M*是否稳定取决于在M*附近供、需曲线的局部性态。为此，用M*处供、需曲线的线性近似来代替它们，并讨论此线性近似模型中M*的稳定性。设供应曲线与需求曲线的线性近似分别为和式中，a、b分别为供应曲线在M*处的切线斜率与需求曲线在M*处切线
