《数列极限》PPT课件(I)

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1、第一章二、收敛数列的性质一、数列极限的定义第二节数列的极限按自然数1,2,3,…,编号依次排列的一列数称为数列记为.…,…如:1,…,－1,1,－1,…第二节数列的极限一、数列极限的定义注:数列是整标函数xn=f(n)直观定义若当n无限增大时,数列对应的项无接近与常数a,则称常数a为数列xn的极限,记为例如,趋势不定收敛发散总存在自然数N,当n>N时,不等式都成立,定义那么就称常数a是数列的极限,或称数列收敛于a记为:如果数列没有极限,就说数列是发散的.几何解释:例1证所以,小结:用定义证数列极限存在时,关键是例2证明证由得任意给定ε>0寻找N,但不必要求最小的N.例3证例4证思考题那么

2、对任意自然数p,当n>N时,当n>N时,当n>N时,…,…定理1若数列{xn}收敛，则它的极限唯一.证故收敛数列极限唯一.二、收敛数列的性质定理2收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.得定理3（保号性）且时,有证:对a>0,取推论:若数列从某项起(用反证法证明)若注意：例如，证定理4若数列{xn}收敛于a，则它的任意一个子数列也收敛，且极限为a.由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，发散!则原数列一定发散.说明:1.夹逼准则(准则1)三、极限存在准则2.单调有界数列必有极限(准则2)内容小结1.数列极限的“–N”定义及应

3、用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限3.极限存在准则:夹逼准则;单调有界准则思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于∞的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知,求时,下述作法是否正确?说明理由.设由递推式两边取极限得不对!此处