产品建模中NURBS曲线的连续性研究

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1、产品建模中NURBS曲线的连续性研究摘要：优秀的产品数据模型能够大大地提高设计生产各个环节的工作效率，本文以Rhino为例，探讨了建立NURBS数据模型中最基础而最重要的工作——调整曲线的连续性，提出了调整曲线从G0连续到G3以上连续性的几种方法。关键词：NURBS，曲线连续，产品建模一、曲线的几何连续性连续性在计算机辅助设计领域是一个非常重要的概念，大多数情况下因为无法用一条曲线（曲面）来完整地描述产品，需要多条曲线（曲面）拼接才能实现，那么无论从产品的外观设计需要、力学结构需要、加工需要等方面，都要求各个拼接曲线（曲面）之间

2、保持良好的光滑和统一性，这种统一性表现在数学上就要用曲线（曲面）的连续性来保证。在建立数据模型的时候，曲面都是在曲线的基础上建立起来的，曲线的质量直接决定了曲面的质量，因此本文以Rhino为例着重探讨建模中NURBS曲线的连续性问题。在数学上，常用参数连续的概念C0、C1、C2来描述两端曲线曲面之间的连续性关系，“如果曲线在连接处具有直到n阶连续导矢，即n次连续可微，这类光滑度称之为或n阶参数连续性”[1]，也就是说如果两段曲线在连接点具有对参数u的相同的n阶导数，那么就称它们为在连接点n阶参数连续。例如连续是指两段曲线在连接点

3、处2阶导数相等，这对于两段拼接曲线的参数提出了严格的要求。在工程应用上，人们发现数学上严格的参数连续性并不能保证两段曲线曲面的光滑，因此采用了相对宽松的几何连续性(GeometricContinuity)概念，几何连续性延续了参数连续的部分要求，但主要着眼于工程产品的表面视觉特征。G0连续（位置连续）：两条曲线的端点位于同一位置，即第一条曲线的末端点与第二条曲线的首端点重合，位置连续是两条曲线摆脱不连续状态的最低条件。G1连续（相切连续）：两条曲线符合G0连续，而且在端点重合的地方切线方向相同。G2连续（曲率连续）：两条曲线满足

4、G1连续条件，而且在端点重合的地方曲率半径相同。G3连续：如果两条曲线在连接点对各自弧长的3阶导数相等，则两条曲线在连接点具有3阶连续性，它的几何意义是两条曲线的曲率变化率相等。G4连续：可以理解为两条曲线在连接点曲率变化率的变化率相等，更高阶的连续性可以计算，但很难有直观的几何意义。在产品设计实践中，应用比较普遍地是G0、G1和G2连续，对曲面要求比较高的产品如汽车外壳、飞机外壳等则要求更高的曲线曲面间的连续性。二、调整两条曲线连续性在Rhino中所建的Nurbs曲线可以是单条曲线，也可以是多条曲线拼接而成，相应地曲线连续性问

5、题就分为单条曲线连续性和多条曲线间连续性两种情况。单条曲线分为单跨距曲线和多跨距曲线两种，曲线内是处处连续的，曲线内不同跨距间连续性阶数是曲线的阶数减一，比如多跨距3阶曲线，其跨距间可达到2阶连续；多跨距5阶曲线，其跨距间可达到4阶连续，依次类推。在现实设计和生产中，产品形状千变万化，很多时候用单条曲线很难表达产品形状，转而用多条曲线拼接来表达形态。所以目前在生产中遇到最多的就是如何拼接多条曲线，使之达到更好的连续性。下面我们以两条曲线为例，讨论如何使之连续。在Rhino中，调整拼接曲线的连续性有自动和手动两种方法。对于自动调整

6、的方法，程序提供了调节曲线间连续性的工具（衔接曲线），可以进行位置连续、切线连续、曲率连续等三种连续性操作。这个工具可以把一条曲线变形从而与另一条曲线形成特定的连续性关系，变形的曲线节点只改变了控制点的位置，若衔接成位置连续，曲线2移动一个控制点；若衔接成切线连续，则曲线2要移动两个控制点到新位置；若衔接成曲率连续，曲线2要移动3个控制点到新位置。对于手动调整连续性的方法，则情况比较复杂，我们在这里简单地讨论下其方法。(一）、手动调整拼接曲线到G1连续：如图1左图所示，两条3阶曲线1和2首尾连接，是位置连续的关系，我们手动移动曲

7、线2的第二个控制点b2，使之与曲线1端点的前两个控制点a1、b1共线，则曲线1、2在连接点切线方向相同，达到G1连续，如图1右图所示。b2的位置比较灵活，只要它满足前述共线条件，曲线1、2始终达到G1连续。图1调整两条曲线至G1连续具体手动调整到G1连续的方法有很多种，可以以a1、a2的重合点为中心点，画出一段直线，然后分别移动控制点b1和b2，使它们都位于此直线上，从而可以使a1、b1、a2、b2这四点共线。也可以用工具沿着a1、b1绘出一条直线，然后把b2移动到这条直线上，也可以实现相同的目的。（二）、手动调整拼接曲线到G2

8、连续：既然手动移动b2的位置可以很容易地使曲线2与曲线1达到切线连续，那么依此类推，有没有方法我们可以手动移动控制点，使a2、b2、c2同a1、b1、c1保持特定的位置关系，从而使曲线2与曲线1达到曲率连续呢?我们下面来讨论一下。两条曲线达到曲率连续的时候，它们