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1、微积分在概率论与数理统计中的应用姓名：刘彦甫班级：1202101学号：1120200705摘要：大二概率论课程结课了，在这门课上我学到了一些关于概率论和数理统计的许多知识。这些知识既可以对我的专业方面有很大的指导作用、强化了我相关的数理逻辑能力。课后，在兴趣的激励下，我从课本、习题以及相关网络资源中找到了更多关于概率论与数理统计的知识。现通过这篇论文对我学习过程中的体会，并结合以往的数学知识（重点在微积分部分）关键词：概率论与数理统计其他数学知识微积分概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门数学学科，已在包括控制、通信、生物、物理、力学、金融、社会科学、以及其他工程技
2、术科学等诸多领域中获得了广泛的应用。学习和掌握概率论与数理统计的基本理论和基本方法并将应用于科学研究的和工程实际中，是社会发展对高素质人才培养提出的必然要求。----概率论与数理统计（前言）一般认为,概率论源于赌博问题,创立于1654年7月29日。考古证实骰子古而有之,那么为何直到17世纪概率论才诞生?历史表明概率论的诞生和发展需要先进的数学技术和理性的思考。众所周知,概率论的大厦是建筑在微积分的地基之上的,如在函数关系的对应下,随机事件先是被简化为集合,继之被简化为实数,随着样本空间被简化为数集,概率相应地由集函数约化为实函数.以函数的观点衡量分布函数F(x),F(x)
3、的性质是十分良好的:单调有界、可积、几乎处处连续、几乎处处可导.因之,微积分中有关函数的种种思想方法可以通畅无阻地进入概率论领域.随机变量的数字特征、概率密度与分布函数的关系、连续型随机变量的计算等,显然借鉴或搬运了微积分的现有成果.又如概率论中运用微积分的基础)))极限论的地方也非常多,诸如分布函数的性质、大数定律、中心极限定理等.总之,微积分的思想方法渗透到了概率论的各个方面,换言之,没有微积分的推动,就没有概率论的公理化与系统化,概率论就难以形成一门独立的学科.微积分与概率论的亲缘关系,决定了概率论的确定论的特征.但是作为微积分的一门后继课程,概率论并非按微积分中的
4、思维方法发展下去,而是另辟蹊径,其发展路径与微积分大相径庭,最终成为了随机数学的典型代表,具备了与微积分相当的地位.更因其非线性、反因果的非理性特征,显得比经典的微积分更具有时代精神.而作为确定性数学典型代表的微积分对概率论的发展具有很大作用,因此讨论微积分在概率论中的地位,探究概率论与微积分的联系及方法的相互应用作用巨大。这里以一些实例从一个侧面体现概率论与微积分的联系,与此同时给出了求解形如。概率论中的微积分解题方法1.1微分法某些随机事件的概率有依赖于1个变量的特点(比如依赖于时间变量等).该概率作为1个未知函数,有类比于通过微分方程确定未知函数的途径。从局部性质(
5、增量研究)入手,由微分的方法可求出所需的概率。例1某机器在△t时间内因故障而停止的概率为a△t+o(△t)(a为正常数).如果机器在不重叠的时间内停止的各个事件彼此独立,如在时刻t0机器在工作着.试求此机器由时刻t0到t0+t这段时间内不停工作的概率.解:在机器工作稳定的情况下,所求概率应该只与时间区间[t0,t0+t]的长短有关，而与起点t0无关。故所求概率只是t的函数,记为P(t).由于对P(t)的整体性状的信息认识不足,只是局部地知道机器在充分小的△t时间内因故障停车的概率为a△t+o(△t),可以先去考查P(t)在局部范围的增量变化特征。明显地,机器在[t0,t0
6、+t+△t]内不停,当且仅当在[t0,t0+t]及[t0+t,t0+t+△t]2段时间内都不停时才成立。利用这2个事件的独立性可得P(t+△t)=P(t)P(△t)=P(t)[1-a△t-o(△t)]P(t+△t)-P(t)=-aP(t)△t-P(t)o(△t)P(t+△t)-P(t)=-aP(t)△t-P(t)o(1)注意到P(t)的有界性,令△ty=0,得到dP(t)/dt=-aP(t),这就是未知概率P(t)所应满足的微分方程.解此方P(t)=Ce-at,其中C为任意常数.由假定在时刻t0机器在工作,此即是初始条件P(0)=1,于是可求出c=1,故得P(t)=e-a
7、t12逐项微分法根据变量数学期望与方差的定义,利用随机变量的概率分布或分布密度的特点,可以用逐项微分法求出随机变量的数学期望与方差.对于概率分布或分布密度含有参数的随机变量,也可应用逐项微分法求出其数学期望与方差.设离散型随机变量N的概率分布为P(N=ai)=Pi,i=1,2,…，n,满足0≤Pi≤1,其中Pi含有参数(i=1,2,,,n),在求数学期望E(N)时,可通过对Σpi=1两边关于参数求导以达到目的.而在求方差D(N)时,可对E(N)=a(a是上面求出之值)两边再对参数求导得E(N2),再由D(N)=E(N2)-[E
