声波方程有限差分法数值模拟

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1、声波方程有限差分法数值模拟学院：海洋地球科学学院专业：地球信息科学与技术年级：2012级姓名：王昊指导教师：宋鹏声波方程有限差分法数值模拟2012级地球信息科学与技术12040032037王昊摘要：本实验应用声波方程作为正演模拟的波动方程，将所提供震源函数离散后绘图，并将给定两个二维速度-深度模型（一个小模型；一个大模型），绘出图形。通过模拟地震波在介质中的传播，理解实际勘探中地震波在地层中的传播规律，在模拟水平层状速度模型中，体会地震波在两种介质分界面的传播规律，并能够从地震记录中识别出反射波，透射波，多次波，折射波和绕射波。

2、并通过模拟人工合成的地震记录，体会地震勘探基本原理和方法，验证地震波传播能量波形变化趋势。关键词：声波方程数值模拟地震波有限差分引言：地震波场模拟即地震正演，是指已知模型结构，通过物理或数值计算的方法模拟该地质结构下的地震波的传播，最终合成地震记录，也可以认为其是野外数据采集过程的室内再现。物理模拟花费昂贵，人们一般采用比较经济的数值模拟技术。地震波场数值模拟是在给定数学模型（如弹性波方程，声波方程等）、震源和地下几何界面、物性参数（岩层密度、速度等）情况下，研究弹性波或声波的传播规律。地震波波动方程数值模拟方法主要包括克希霍夫

3、积分法、傅里叶变换法、有限元法和有限差分法等。相对于上述几种方法，有限差分法是一种更为快速有效的方法。虽然其精度比不上有限元法，但因其具有计算速度快，占用内存较小的优点，在地震学界受到广泛的重视与应用。本实验给定大小两个模型，对于小模型，整个区域的速度值可设为常数，即只有一种介质，将震源点放在模型中间，分别记录两个时刻的波前快照（即该时刻区域内所有网格点的波场值）。第一时刻为地震波还未传播到边界上的某时刻，第二时刻为地震波已经传播到边界上的某时刻，体会其人工边界反射；对于大模型，定义为水平层状速度模型（至少两层）；做两个实验，一

4、是将震源点放在区域表层任一点，记录下某些时刻的波前快照，体会地震波在两种介质的分界面上传播规律；二是合成一个地震记录，即记录下与震源同一深度点的各点所有时刻的波场值，并指出记录上的同向轴分别对应哪些波。实验内容：对于二维速度-深度模型，地下介质中地震波的传播规律可以近似地用声波方程描述：222u2uuv()S(t)（1）222txz其中v(x,z)是介质在点(x,z)处的纵波速度，本实验中v为常数2500，u为描述速度位或者压力的波场，s(t)为震源函数，本实验选用雷克子波（零相位子波）(2/)22s(t

5、)eftcos2ft上式中，t为时间，fm为中心频率，一般取为20-40HZ，本实验取20，γ为控制频带宽度的参数，一般取3-5,这里取4，在实际计算过程中，需把此震源函数离散，参与波场计算。由图像可知子波能量主要集中在前部，大致上t>35的时候S(t)都为零值，故在绘制S(t)图像时k取100，来比较清晰得呈现雷克子波。本实验不涉及吸收边界条件的使用。这样声波方程数值模拟所需的（1）震源函数（2）地层速度（波速）（3）边界条件均定义完全。为求（1）式的数值解，必须将此式离散化（包括时间离散和空间离散，这里dt取0.002，

6、dh取4，即用有限差分来逼近导数，用差商代替微商。为此，先把空间模型网格化，得到横向上x=i*dh,纵向上uk图1z=j*dh,t=n*dt，k时刻(i,j)点的波场值为i,j。实验中波场本应定义三维数组，但考虑到内存问题，将其定义为二维数组，采用循环交换赋值实现三维数组的功能，这里利用泰勒展式，展到二阶略去高阶小量，整理得(i,j)点k时刻的二阶时间微商，对于空间微分，采用四阶精度差分格式分别在(i,j)点k时刻展开到四阶小量，消除四阶小量并解出二阶微分，由时间和空间的二阶微商整理得到波场值。22k1kk1vt1kk4k

7、k5kui,j2ui,jui,j2{[ui2,jui2,j][ui1,jui1,j]ui,j}h123222vt1kk4kk5k{[uu][uu]u}2i,j2i,j2i,j1i,j1i,jh1232s(t)*(ii)*(jj)（2）00一般来讲，差分时差分格式阶数越高，得到的波场值精度越高，但稳定性会受影响，差分格式的稳定性不仅与差分格式本身有关，也随着差分精度的不同而不同，而且与网格步长之比的大小有关，值得指出3v*t/hmax的是差分格式的稳定性与微分方程无

8、关，本实验所采用的（2）式为条件稳定，稳定条件：8，（2）式由差分方程近似替代微分方程所得，所以如果空间和时间采样间隔不当，就会产生频散现象，导致hv/(Gf)波形畸变，甚至派生出多个同相轴，为减少频散，Δh需满足Dablain的经验公式：minN??为Ny