《留数定理》PPT课件

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1、第四章留数定理及其应用§4.1留数留数定理一、留数如果z=b是f(z)的孤立奇点，l为完全在z=b邻域0<

2、z-b

3、

4、z-b

5、

6、z-b

7、

8、邻域内任一沿正向绕的闭合曲线）例求函数在奇点z=0和z=2i上的留数.解：f(z)把在z=0邻域内展成罗朗级数把f(z)在z=2i邻域内展成罗朗级数，由于在z=2i解析，所以可在展成泰勒级数.二、留数定理设区域G的边界C为一分段光滑的简单闭合曲线.若除有限个孤立奇点bk，k=1,2,3,…,m外，函数在G内单值解析.则：【证】以各奇点为圆心，以有限小的半径作圆，把各奇点挖掉，挖掉各奇点的区域为复连通区域，f(z)在该复连通区域内解析，根据复通区域的科希定理：即f(z)沿闭曲线l逆时针方向积分之值，等于f(z)在l所包围的区域内各奇点的留数之和乘于2

9、i.三、无限远点为孤立奇点时的留数仿照有限远奇点上的留数的定义，可定义无限远点上的留数：（l为z=邻域内任一沿正向绕z=的简单闭曲线），注意绕的闭曲线的正方向应是顺时针方向，如图.在z=邻域内的罗朗展开式为:两边沿顺时针方向积分因此f(z)在z=的留数为f(z)在z=邻域内的罗朗展开式中z-1项的系数的a-1相反数，即若f(z)在有限远的可去奇点邻域内的罗朗展开式中没有负幂项，f(z)在有限远的可去奇点上的留数为零；若无限远点为可去奇点时，f(z)在无限远点邻域内的罗朗展开式中没有正幂项，但有负幂项，所以无限远点为可去奇点时，Resf()

10、一般不为零.四、推论若函数f(z)在复平面上除有限个孤立奇点外解析，则函数f(z)在各奇点（包括无限远点）上的留数和为零.此定理称为留数和定理.【证】设闭曲线l把复平面内所有的有限远的孤立奇点都包围在内，则：无限远点的留数为：两式相加，得：因此若f(z)在某一奇点上留数不好求，可以先计算其他各点的留数，再用留数和定理求出该点的留数.§4.2留数的计算方法f(z)在奇点上的留数可根据留数的定义，将函数f(z)在奇点z=b邻域内展成罗朗级数:a-1为该罗朗展开式中(z-b)-1项的系数.如果要求在f(z)无限远点上的留数，可将f(z)在邻域内展成罗朗级数

11、，a-1为该罗朗展开式中z-1项的系数.从一般原则来说，只要在以奇点为圆心的圆环域上把函数展开为罗朗级数，取它的负一次幂项目系数就行了，但如果能不作罗朗展开而直接算出留数，计算工作量将减轻不少。在应用留数定理计算回路积分时，往往会遇到在极点上留数的计算.若z=b为f(z)的单极点，则f(z)在z=b邻域内的罗朗展开式为：两边同乘以z-b，得：令zb，得：写成：若z=b是f(z)的单极点，f(z)为有理分式，，P(z)在z=b解析，且P(b)0，而z=b是Q(z)的一阶零点，即，那么:【证】洛必达法则：若z=b为f(z)的m阶极点，则在z=b邻域

12、内的罗朗展开式为：上式两边同乘于(z-b)m得：两边对z求导m-1次，令zb，则：m阶极点的留数的计算公式例1、求在各奇点上的留数.解：z=0是f(z)的三阶极点，则:z=2i是f(z)的单极点,则：也可把f(z)写成:z=是f(z)的可去奇点，应用留数和定理，得：也可把f(z)在z=的邻域展成罗朗级数:显然上式中z-1项的系数a-1=0，故例2、求在各奇点上的留数.【解】z=k（）是f(z)的单极点其中P(z)=1，Q(z)=sinz，则:由于z=不是f(z)的孤立奇点（是各奇点z=k当时的极限点），因此在z=的留数没有意义.例3、求

13、在各奇点上的留数.或则:或z=是f(z)的本性奇点，根据留数和定理:解：是f(z)的单极点，1z=±例4、求积分：（1）；（2）.解：（1）内有一单极点z=0，根据留数定理：（2）

14、z=

15、2内有两个单极点z=0和z=1，该结果于第二章中科希公式求出的结果相同，用留数定理更加简单.根据留数定理:§4.3实函数定积分的计算留数定理的重要应用之一就是计算实函数定积分.基本思路：把实函数定积分于复函的闭合回路积分联系起来，再利用留数定理计算后者，从而求出实函定积分.基本方法：（1）作变量变换：如积分，可作变量变换，x从0到2，z则沿以原点为圆心以R为半径

16、逆时针运行一周，原积分变为：（2）作辅助函数.如求积分，引入辅助曲线C，“变”直线段为闭合曲线，作辅助函数F