《留数及其应用》PPT课件

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1、第五章留数及其应用本章主要内容：1、孤立奇点及其分类2、留数概念及其计算3、留数在计算定积分中的应用1§1孤立奇点1、孤立奇点的分类定义1.)(,0,)(0000的孤立奇点为则称内解析的某个去心邻域但在处不解析在若zfzzzzzzfd<-<例如2xyo这说明奇点未必是孤立的.3注:若函数的奇点个数有限，则每一奇点都是孤立奇点.2、孤立奇点的分类42.1可去奇点：展式中不含z-z0负幂项，即特点?“可去”一词的解释?52.2极点：展式中仅含有有限多个z-z0负幂项，即特点?62.3本性奇点：展式中含有无穷多个z-z0负幂项,特点?73、函数

2、在孤立奇点的性质3.1z0为f(z)的可去奇点性质1若z0为f(z)的孤立奇点，则下列条件等价：83.2若z0为f(z)的m(m1)级极点，则性质2若z0为f(z)的孤立奇点，则下列条件等价（都是m级极点的特征）：9例如：z=1为f(z)的一个4级极点，z=i为f(z)的简单极点.注意在判断孤立奇点类型时，不要一看到函数的表面形式就急于作出结论.例如利用洛朗展式容易知道，z=0分别是它们的简单极点，可去奇点，二级极点.10性质3若z0为f(z)的孤立奇点，则z0为f(z)的极点的充要条件是在判断函数的极点时，请比较性质2和性质3.4、

3、零点与极点的关系11证明:先证明必要性.性质412例如：必要性证毕.充分性请自己完成.结论：一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的.13性质5证明：由于z0为f(z)的m级零点，所以14在判断函数的极点级数时，下列结论有时是非常有用的.例如，15性质6z0为f(z)的本性奇点注：在求复变函数的极限时，也有同实函数类似的罗必塔法则.由性质1和性质3，得1617本讲小结：181、留数的定义§2留数1.1引入19201.2定义121注：222、留数定理定理1证明23Dcznz1z3z2由复合闭路定理得：于是，得留数定理非常重要，也为求积分提供了新

4、方法！24求沿闭曲线c的积分，归之为求在c中各孤立奇点的留数.理论上讲，只要知道将f(z)在z0邻域内的洛朗级数，也就求出了f(z)在该点处的留数,实际上，展开式有时候并不是很好求的.以下就三类孤立奇点进行讨论：3、留数的计算25定理226证明:由条件,得27注:定理3证明:28证毕.29例1解:30例2解:31例3解:32例4解:33例5解:另解:34另解:由定理2的推导过程知，在使用时，可将m取得比实际级数高，有时可使计算更简单.例如取m=6,351、留数的定义2、留数定理3、留数的计算规则本讲小结36§3留数在计算定积分中的应用本节

5、主要内容：考察三种类型的实函数的定积分的计算.37这类积分可以化为单位圆上的复变函数积分.38在高等数学中此积分一般是采用万能代换求解.下面用复变函数的方法求解该题.解：例139于是40因此41不失一般性，设42根据留数定理，得到xyO-RR......43再由（1），得44解：因为被积函数是偶函数,其位于上半平面的奇点是:（均为单极点）45于是46于是解：其位于上半平面的奇点是:（均为单极点）47问题的处理方法：同第二种类型一样，通过引进辅助半圆周，得到一个闭合路径（半圆周加实轴）上的复变函数的积分，然后取极限（令半径趋于无穷），并且可

6、证明：48事实上49于是50即：例４　计算解：相当于：51思考：例５　计算52例６　计算解：先考察积分在所示闭合路径上应用留数定理，得xy-rrcr-hhchＯ（因闭合路径内被积函数无奇点．）53取极限，令：则下面考察最后一项：xy-rrcr-hhchＯ54由于再注意到g(z)在原点临近有界，所以55至此，我们得到56本讲主要内容：考察三种类型的实函数的定积分的计算.57