《经典洛必达法则》PPT课件

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1、第一节微分中值定理高等数学Ⅰ第三章复习Fermat引理有定义,如果对有那么内的某邻域在点设函数)()(00xUxxf,)(0存在且xf¢2推论3例证明：4三、柯西(Cauchy)中值定理特别地5这两个错!柯西中值定理(1)(2)使得柯西定理的下述证法对吗?讨论不一定相同x6证作辅助函数7例证分析:结论可变形为8罗尔定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理之间的关系:推广推广这三个定理的条件都是充分条件,换句话说,满足条件,不满足条件,定理可能成立,不是必要条件.而

2、成立;不成立.定理也可能四、小结一个引理、三个中值定理、一个推论；9应用三个中值定理常解决下列问题(1)验证定理的正确性;(2)证明方程根的存在性;(3)引入辅助函数证明等式;(4)证明不等式;(5)综合运用中值定理(几次运用).关键逆向思维,找辅助函数10思考与练习1.填空题1)函数在区间[1,2]上满足Lagrange定理条件,则中值2)设有个根,它们分别在区间上.方程11练习分析且内可导在上连续在设,),(,],[)(babaxf122.设且在内可导,证明至少存在一点使提示:由结论可知,只需证即验证在上满足Rolle定理条件.设13分析且内可导在上连续在

3、设,),(,],[)(babaxf3.14证即且内可导在上连续在设,),(,],[)(babaxf).,(,0)(,0)()(baxxfbfafι==定理由Rolle154.若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.16第二节洛必达法则高等数学Ⅰ第三章定义18定理1：设定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.型未定式解法：1、0019则有证明：注意，x=a有可能是f(x)和F(x)的间断点故x=a只可能是可去间断点20（2）使用法则时一定要注意验证法则的

4、条件。注意：21定理2则（3）定理1中换为之一,条件2)作相应的修改,定理仍然成立.22例解例解23例解：×正解：注意:不是未定式不能用L’Hospital法则!24型未定式解法：2、¥¥定理3：设立的。对其他极限过程也是成定理3)1(25例解例解26用洛必达法则应注意的事项只要是则可一直用下去;(3)每用完一次法则,要将式子整理化简;(4)为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限的其它性质结合使用.(2)在用法则之前,式子是否能先化简;27例5.求解:原式例6.求解:(1)n为正整数的情形.原式28例7.求(2)n不为正整数的情形.从而由(1)用夹逼准则存在正

5、整数k,使当x>1时,29例解30例解31例解解32注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法,但与其它求极限方法结合使用,效果更好.例解33练习解先把此定式因式分离出来34例解极限不存在洛必达法则失效.L’Hospital法则的使用条件.注用法则求极限有两方面的局限性当导数比的极限不存在时,不能断定函数比的极限不存在,其一,这时不能使用洛必达法则.35可能永远得不到结果!分子，分母有单项无理式时,不能简化.如其实:其二用法则求极限有两方面的局限性36例解关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型步骤:或37例解38例解步骤:39例解40Guan法一：化为

6、指数函数法二：取对数步骤:步骤:1lnlimlnlimln-==vuuvuvlim41例解42例解43例解44例解还有别的方法吗?45例解数列的极限转化为函数的未定式的极限!由于是中的一种特殊情况,所以有不能用洛必达法则46练习解法一用三次洛必达法则可求得.法二结合其它方法用三次洛必达法则可求得.法三xxeexxxsinlimsin0--®求极限xxeexxxxsin1limsinsin0--=-®原式xxeexxxxxsin1limlimsin0sin0--×=-®®111=×=47练习均为正数.解法一48解法二均为正数.49解:原式例求通分转化取倒数转化取

7、对数转化501.解极限不存在洛必达法则失效.思考题:以下解法对否?注意：洛必达法则的使用条件．2.解511.解思考题:以下解法对否?2.解注意：L’Hospital法则的使用条件．52四、小结一、二、三、注意但求某些未定式极限不要单一使用洛必达应将所学方法综合运用.尤其是下述两种方法,可使问题大大简化.各类未定式极限问题,洛必达法则是最常用的工具,法则,三大类未定式53(1)存在极限为非零的因子,可根据积的极限运算法则先求出其极限.(2)凡乘积或商的非零无穷小因式,可先用简单形式的等价无穷小替换.务必记住常用的等价无穷小.54思考题问上述做法是否正确55思考题

8、解答错正确的做法是不一定存在.)()(