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1、立体几何证明与计算1棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别在线段AB1,BC1上,且AM=BN,给出以下结论:①AA1⊥MN②异面直线AB1,BC1所成的角为60°③四面体B1-D1CA的体积为④A1C⊥AB1,A1C⊥BC1,其中正确的结论的个数为（ ）A．4B]3C．2D．12已知的二面角,点A,,C为垂足,,BD,D为垂足,若AC=BD=DC=1则AB与面所成角的正弦值为__________3将,边长为的菱形沿对角线折成大小等于的二面角,则下列说法中正确的有__________(填上所有正确的答案).①;②当时,
2、;③若平面BAD⊥平面BCD,则BC⊥DC,BA⊥DA;④当时,四面体B-ACD外接球的体积为.4如图1,在等腰直角三角形中,,,分别是上的点,,为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.(Ⅰ)证明:平面；(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值..COBDEACDOBE图1图2OBEH5、图55（2011广东高考）如图5，在锥体中，是边长为1的菱形，且，，，分别是的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．6．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，CD是斜边上的高沿CD把△ABC折成直二面角．AB
3、C第1题图ABCD第1题图（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A，B的位置，使二面角A－CD－B是直二面角？证明你的结论．（2）试在平面ABC上确定一个P，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，证明你的结论．（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值．7在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.(1)求证：平面EFG⊥平面PDC；(2)求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．8如图，在四棱锥P—AB
4、CD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝2.(1)证明：PA∥平面BDE；(2)证明：AC⊥平面PBD；(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．9如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点．(1)求直线B1C与DE所成角的余弦值；(2)求证：平面EB1D⊥平面B1CD；(3)求二面角E－B1C－D的余弦值．10如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)求PB和平面PAD
5、所成的角的大小；(2)证明AE⊥平面PCD；(3)求二面角A—PD—C的正弦值．12如图，在三棱锥A-BOC中，底面BOC,,AB=AC=4,,动点D在线段AB上.(Ⅰ)求证:平面COD⊥平面AOB；(Ⅱ)当点D运动到线段AB的中点时,求二面角D-CO-B的大小；(Ⅲ)当CD与平面AOB所成角最大时，求三棱锥C-OBD的体积.立体几何大题1棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别在线段AB1,BC1上,且AM=BN,给出以下结论:①AA1⊥MN②异面直线AB1,BC1所成的角为60°③四面体B1-D1CA的体积为④A1C⊥
6、AB1,A1C⊥BC1,其中正确的结论的个数为（ ）A．4B]3C．2D．1【答案】A2已知的二面角,点A,,C为垂足,,BD,D为垂足,若AC=BD=DC=1则AB与面所成角的正弦值为__________【答案】3将,边长为的菱形沿对角线折成大小等于的二面角,则下列说法中正确的有__________(填上所有正确的答案).①;②当时,;③若平面BAD⊥平面BCD,则BC⊥DC,BA⊥DA;④当时,四面体B-ACD外接球的体积为.【答案】①③④4如图1,在等腰直角三角形中,,,分别是上的点,,为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其
7、中.(Ⅰ)证明:平面；(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值..COBDEACDOBE图1图2CDOBEH4、(Ⅰ)在图1中,易得连结,在中,由余弦定理可得由翻折不变性可知,所以,所以,理可证,又,所以平面.(Ⅱ)传统法:过作交的延长线于,连结,因为平面,所以,所以为二面角的平面角.结合图1可知,为中点,故,从而CDOxE向量法图yzB所以,所以二面角的平面角的余弦值为.5、图5（2011广东高考）如图5，在锥体中，是边长为1的菱形，且，，，分别是的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．5、（1）证明：取的中点，连接∵，∴∵在边长为1的菱
8、形中，∴△是等边三角形∴，∴平面 ∴∵分别是的中点 ∴∥，∥∴，，∴平面（2）解：由（1）知， ∴是二面角的平面角易求得∴∴二面角的余弦值为6．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片
