梁的弯曲变形与刚度计算

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1、§9–2梁的挠曲线近似微分方程§9-3积分法计算梁的变形§9-5梁的刚度计算及提高梁刚度的措施第9章梁的弯曲变形与刚度计算§9-1工程中的弯曲变形问题§9-6简单超静定梁§9-7梁的弯曲应变能§9-4叠加法计算梁的变形弯曲构件除了要满足强度条件外,还需满足刚度条件。如车床主轴的过大弯曲引起加工零件的误差。9.1工程中的弯曲变形问题7-19.1工程实际中的弯曲变形问题但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。9.1工程实际中的弯曲变形问题9.1工程实际中的弯曲变形问

2、题挠度(w):横截面形心(即轴线上的点)在垂直于x轴方向的线位移,称为该截面的挠度(Deflection)。取梁的左端点为坐标原点,梁变形前的轴线为x轴,横截面的铅垂对称轴为y轴,xy平面为纵向对称平面。9.1工程实际中的弯曲变形问题xyBAB'CC1挠度w挠度符号？xyBAB'CC1转角符号？转角转角():横截面绕中性轴(即Z轴)转过的角度（或角位移）,称为该截面的转角(Sloperotationangle)。挠度和转角符号的规定：挠度：在图示坐标系中,向上为正,向下为负。转角：逆时针转向为正,顺时针转向为负。yxABCw(挠度)C1q(转角)9.1工程实际中的弯

3、曲变形问题F必须注意:梁轴线弯曲成曲线后,在x轴方向也有线位移。9.1工程实际中的弯曲变形问题yxABCw(挠度)C1q(转角)F但在小变形情况下,梁的挠度远小于跨长,横截面形心沿x轴方向的线位移与挠度相比属于高阶微量,可略去不计。挠曲线：梁变形后的轴线称为挠曲线。挠曲线方程:式中,x为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w为该点的挠度。yxABCw(挠度)C1q(转角)挠曲线9.1工程实际中的弯曲变形问题F挠度与转角的关系：yxABCw(挠度)C1qq(转角)9.1工程实际中的弯曲变形问题F9.2挠曲线的近似微分方程横力弯曲时,M和都是x的函数。略去剪力对梁的位移的影响,

4、则纯弯曲时曲率与弯矩的关系为由几何关系知,平面曲线的曲率可写作曲线向上凸时：w’’<0,M＜0因此,M与w’’的正负号相同。MMM＜0w’’<0OxyM＞0w’’>0MM曲线向下凸时：w’’>0,M＞0Oxy由于挠曲线是一条非常平坦的曲线,w'2远比1小,可以略去不计,于是上式可写成此式称为梁的挠曲线近似微分方程。(Approximatelydifferentialequationofthedeflectioncurve)称为近似的原因:(1)略去了剪力的影响;(2)略去了w'2项。再积分一次,得挠度方程上式积分一次得转角方程若为等截面直梁,其抗弯刚度EI为一常量,上式

5、可改写成式中：积分常数C1、C2可通过梁挠曲线的边界条件和变形的连续性条件来确定。9.3积分法求弯曲变形简支梁悬臂梁边界条件(boundarycondition)ABwA＝0wB＝0ABwA＝0qA＝0ABAB连续性条件(Continuitycondition)在挠曲线的任一点上,有唯一的挠度和转角。如:不可能不可能c讨论：①适用于小变形、线弹性、细长构件的平面弯曲②用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移③积分常数由挠曲线变形边界条件确定④优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁例1：图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁,在自由端受一集中力F作用。试求梁的挠曲线方

6、程和转角方程,并确定其最大挠度wmax和最大转角max。ABlxxy解：以梁左端A为原点,取直角坐标系,令x轴向右,y轴向上为正。(1)列弯矩方程F(2)列挠曲线近似微分方程并积分(3)确定积分常数代入式(a)和(b),得：C1＝0,C2＝0ABlxxyF在x＝0处,w＝0在x＝0处,q＝0ABlxxyF(4)建立转角方程和挠度方程将求得的积分常数C1和C2代入式(a)和(b),得梁的转角方程和挠度方程分别为：(5)求最大转角和最大挠度自由端B处的转角和挠度绝对值最大。wmaxqmax所得的挠度为负值,说明B点向下移动;转角为负值,说明横截面B沿顺时针转向转动。xlA

7、BqFAFB例2:图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度wmax和最大转角max。xy解:由对称性可知,梁的两个支反力为梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为积分两次xlABqFAFBxy简支梁的边界条件是在x＝0处,w＝0在x＝l处,w＝0代入(c)、(d)式确定出积分常数xlABqFAFBxyABqxyqAqBwmaxl/2由对称性可知,在两端支座x＝0和x＝l处,转角的绝对值相等且都是最大值在梁跨中点l/2处有最大挠度值例3：图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在D点