《高阶微分方程》PPT课件

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1、1第三节高阶微分方程2(1)形如的方程称为n阶线性微分方程,特别,(2)称为n阶齐次线性微分方程.一、n阶线性微分方程非齐次*3函数的线性相关与线性无关成立,则称这n个函数在区间I上线性相关；否则称线性无关.4线性齐次微分方程的解的结构也是(2)的解.定理1进一步，则(3)就是(2)的通解.(1)(2)(3)5线性非齐次微分方程的解的结构定理2(1)(2)6二、二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程的标准形式其中a,b是常数.(1)(2)称为二阶常系数齐次线性微分方程.7二阶常系数齐次线性方程解的性质回顾一阶齐次线性方程A.方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的

2、解；B.方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解.8二阶常系数齐次线性方程解的性质A.方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解；B.方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解.也是(2)的解.(称线性无关),则上式为(2)的通解.定理3(2)91.二阶常系数齐次线性方程的解法代数方程(3)称为微分方程(2)的特征方程,它的根称为特征根(或特征值).(3)(2)10(3)情形1则特征方程(3)有两个相异的实根11情形2需要求另一个特解则特征方程(3)有两个相等的实根于是(2)的通解为12情形3则特征方程(3)有一对共轭复根13小结特征根的情况通解的表达式实根实根复

3、根14解特征方程为故所求通解为例1例2解特征方程为解得故所求通解为特征根为15解特征方程为故通解为例3特征根为16对应齐次方程2.二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法(1)(2)A.方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个解是(1)的解；B.方程(1)的任意两个解之差是(2)的解.定理4那么方程(1)的通解为17对应齐次方程2.二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法(1)(2)定理4那么方程(1)的通解为问题归结为求方程(1)的一个特解.只讨论f(x)的两种类型.用待定系数法求解.18则19情形1若r不是特征根,即情形2若r是特征方程的单根,即20情形3若

4、r是特征方程的二重根,即21综上讨论设特解为其中22解对应齐次方程通解特征方程特征根例4代入原方程,得23解对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程，原方程通解为例5得24解对应齐次方程通解特征方程特征根例6代入方程,得25注意：现即即得这样比代入原方程要简便得多.解对应齐次方程通解特征方程特征根例626解例7对应齐次方程通解特征方程特征根27此时原方程的通解为28可以证明,方程(1)具有如下形式的特解:29解例8所求通解为对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程,得30解例9所求通解为对应齐次方程通解特征方程特征根代入原方程,得31定理5(非齐次线性方程的叠加原理)和

5、的特解,的一个特解.32例10解代入得33代入得原方程通解为例10解34解是对应齐次方程的通解,但没有原方程的特解,故(B)也不对；例11二阶非齐次线性微分方程35证36解例12求导，原方程改写为再求导，37对应齐次方程通解特征方程特征根代入得38初始条件：39*三、n阶常系数线性方程特征方程为特征方程的根通解中的对应项40特征根为对应齐次方程的通解为解特征方程为例13代入原方程,得所以原方程通解为41*四、几类特殊的高阶微分方程解例14通解为42解代入原方程得分离变量并积分,得两端积分,得原方程通解为例1543一阶微分方程解例164445解例1746解例1747解例

6、18这是原方程的一个解(非通解).48解例1849练习：P355习题九