信号与系统教案第4章

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1、第四章连续系统的频域分析4.1信号分解为正交函数4.2傅里叶级数4.3周期信号的频谱4.4非周期信号的频谱——傅里叶变换4.5傅里叶变换的性质4.6周期信号的傅里叶变换4.7LTI系统的频域分析4.8取样定理从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。引言时域分析中，将任意信号分解成冲激函数的加权积分；变换域分析中，将任意信号分解成三角函数或虚指数函数的加权积分；将任意信号表示为不同频率正弦分量的线性组合称为信号的频谱分析。频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以

2、及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。意义将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合。从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。从系统分析的角度，已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应，而且每个正弦分量通过系统后的变化都可看得很清楚。本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌握傅里叶分析方法的应用。对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里叶级

3、数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。主要内容（1）掌握周期信号的傅里叶级数展开；（2）掌握信号频谱的概念，了解实信号频谱的特点；（3）掌握傅里叶变化及其基本性质；（4）掌握系统对信号响应的频域分析方法；（5）掌握系统的频域传输函数的概念；（6）掌握理想低通滤波器特性；（7）掌握线性系统的不失真传输条件；（8）掌握连续信号的理想取样模型及抽样定理。本章教学基本要求4.1信号分解为正交函数一、矢量正交与正交分解矢量Vx=(vx1,vx2,vx3)与Vy=(vy1,vy2,vy3)正交的定义：其内积为0，即由两两

4、正交的矢量组成的矢量集合---称为正交矢量集如三维空间中，以矢量vx=（2，0，0）、vy=（0，2，0）、vz=（0，0，2)所组成的集合就是一个正交矢量集。矢量空间正交分解的概念可推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。4.1信号分解为正交函数例如：对于一个三维空间的矢量A=(2，5，8)，可以用上面的三维正交矢量集{vx，vy，vz}分量的线性组合表示。即A=vx+2.5vy+4vz二、信号正交与正交函数集1.定义：定义在(t1，t2)区间的两个函数1(t)和2(t),若满足(两函数的内积为0)则称1(t)

5、和2(t)在区间(t1，t2)内正交。2.正交函数集：若n个函数1(t)，2(t)，…，n(t)构成一个函数集，当这些函数在区间(t1，t2)内满足则称此函数集为在区间(t1，t2)的正交函数集。4.1信号分解为正交函数3.完备正交函数集：如果在正交函数集{1(t)，2(t)，…，n(t)}之外，不存在函数(t)(≠0）满足则称此函数集为完备正交函数集。例如：在(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}是两组典型完备正交函数集。(i=1，2，…，n)4.1信号分解

6、为正交函数三、信号的正交分解设有n个函数1(t)，2(t)，…，n(t)在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为如何选择各系数Ci使f(t)与近似函数之间误差在区间(t1，t2)内为最小。通常使误差的方均值(称为均方误差)最小。均方误差定义为4.1信号分解为正交函数为使上式最小展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为0，写为即所以系数4.1信号分解为正交函数代入，得最小均方误差在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即n越大，则均方误差越小。当n→∞时（为完备正交函数集），均方误差为零。此时有4.1信号分解为

7、正交函数上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式。表明：在区间(t1,t2)f(t)所含能量恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和:4.1信号分解为正交函数三角函数的傅里叶级数函数的对称性与傅里叶级数的关系指数函数形式的傅里叶级数两种傅里叶级数的关系4.2傅里叶级数是一个完备的正交函数集由积分可知1.三角函数集一、傅里叶级数的三角形式4.2傅里叶级数{1,co