双曲型方程的差分方法(I

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1、1第三章双曲型方程定解问题的有限差分法3.1一阶线性常系数双曲型方程3.2一阶线性常系数双曲型方程组3.3变系数双曲型方程及方程组2双曲型方程初值问题一阶偏微分方程隶属于双曲型微分方程例如波动方程:二阶线性微分方程是双曲型微分方程3u定义在xt平面上的一个区域内.(一)一阶线性常系数双曲型方程下面考察方程解u在定义域内直线x=at+C上的变化规律.解u在直线x=at+C上的等于常数.4解u在直线x=at+C上的等于常数任意在xt平面上方程定义域内取点在此点做特征线x=at+C,那么与t=0交于点--------特征线由点任意

2、性,可知解u在直线x=at+C上的等于常数.51.迎风格式关于空间偏导数用在特征线方向的一个单边差商来代替。67条件稳定条件满足8条件稳定9绝对不稳定绝对不稳定同理10绝对不稳定课堂练习证明：11差分格式与微分方程的特征线走向一致，条件稳定。所用网格点12迎风格式统一形式132Lax-Friedrichs格式14绝对不稳定15则稳定16Lax-Friedrichs格式可以不考虑特征线走向，但截断误差比迎风格式的截断误差大。173.Lax-Wendroff格式（2阶精度）1819左偏心格式P点数值解依赖于DC内节点上的函数值--

3、-依赖区域4.Courant-Friedrichs-Lewy条件（C.F.L条件）20P点数值解依赖于DC内节点上的函数值---依赖区域点的微分方程解依赖区域应在差分方程的依赖区域DC内,否则解不收敛.即差分格式的依赖区域应该包含微分方程解的依赖区域微分方程的解C.F.L条件,21不收敛22微分方程解的依赖区域不属于差分方程解的依赖区域右偏心格式C.F.L条件23Lax-Wendroff格式的C.F.L条件24C.F.L条件差分格式的依赖区域包含微分方程的依赖区域CFL是格式收敛的必要条件.2526不稳定，C.F.L条件下不收

4、敛C.F.L条件仍为27课堂练习1.试给出一阶双曲型方程左偏心格式、右偏心格式、中心差分格式的C.F.L条件。285.利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式（两点式），2930设A,B,C处的值已知，下面来确定点P处的值u(P)311.由B、C线性插值求u(Q)2.由B、D线性插值求u(Q)3.由B、C、D二次插值求u(Q)过P做特征线32B，C点插值33B，D点插值34B，C,D点插值35Lax-Wendroff格式366.蛙跳格式37P33定理3.7详见p53383940作业P802.直接证明求解的Lax-Wendrof

5、f格式是二阶精度的格式。