[理学]逆矩阵和分块矩阵

《[理学]逆矩阵和分块矩阵》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1.3逆矩阵与分块矩阵1.3.1逆矩阵及其性质在数的运算中，当数a0时，有11aaaa1,其中a11为a的倒数，（或称a的逆）；a在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算中1的1，那么，对于矩阵A，如果存在一个矩阵A,11使得AAAAE,1则矩阵A称为A的可逆矩阵或逆阵.一、逆矩阵的概念和性质定义对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B,使得ABBAE,则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵.1A的逆矩阵记作A.111212例设A,B,11121

2、2ABBAE,B是A的一个逆矩阵.说明若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.若设B和C是A的可逆矩阵，则有ABBAE,ACCAE,可得BEBCABCABCEC.所以A的逆矩阵是唯一的,即1BCA.21例1设A,求A的逆阵.10解利用待定系数法ab设B是A的逆矩阵,cd则21ab10AB10cd012ac2bd10ab012ac1,a0,2bd0,

3、b1,a0,c1,b1,d2.又因为ABBA2101012110,1012121001所以101.A12定理1矩阵A可逆的充要条件是A0，且11AA,A其中A为矩阵A的伴随矩阵.证明若A可逆，11.即有A使AAE1故AAE1,所以A0.当A0时,当A0时,a11a12a1nA11A21An1a21a22a2nA12A22A

4、n2AAaAaAaAA111112121n1naan1Aan2aAannA1naA2nAAAnnn1n1n2n2nnnnAOA,AOAAAAAAAAEAAE,AA按逆矩阵的定义得1AA.证毕A奇异矩阵与非奇异矩阵的定义当A0时,A称为奇异矩阵,当A0时,A称为非奇异矩阵.由此可得A是可逆阵的充要条件是A为非奇异矩阵.1推论若ABE或BAE,则BA.证明ABE1

5、,故A0,1因而A存在,于是11BEBAABAAB11AEA证毕逆矩阵的运算性质1,1,11.若A可逆则A亦可逆且AA2若A可逆,数0,则A可逆,且111AA.3若A,B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且111ABBA证明1111ABBAABBA11AEAAAE,111ABBA.1111推广AAAAAA.12mm21TT11T4若A可逆,则A亦可逆,且

6、AA.证明T1T1TTAAAAEE,T11TAA.另外,当A0时,定义0,k1k.k为正整数AEAA当A0,,为整数时,有AAA,AA.115若A可逆,则有AA.1证明AAE1AA111因此AA.二、逆矩阵的求法123例2求方阵A221的逆矩阵.3431231解A22120A存在.3432121A2,A3,11124333同理可得A2,A6,

7、A6,A2,13212223A4,A5,A2,313233264得A365,222故264132111AA36532352.A2111222例3下列矩阵A,B是否可逆?若可逆,求出其逆矩阵.123231A212,B135.1331511123123解A2120341330101233403440,所以A可逆.100101222

8、21A113,A124,A135,331313同理可求得A3,A0,A1,A1,21222331A4,A3.3233A11A21A311A1AA12A22A32AAA13A23A333311404.4513231由于B1350,故B不可逆.15111231321