《导数与函数单调性的关系》进阶练习 (二)

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1、《导数与函数单调性的关系》进阶练习一、选择题1.f（x），g（x）（g（x）≠0）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0，f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＜0且的解集为（　　）A.（-2，0）∪（2，+∞）      B.（-2，0）∪（0，2）C.（-∞，-2）∪（2，+∞）     D.（-∞，-2）∪（0，2）2.己知定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）=f（4-x），且当x≠2时，其导函数f′（x）满足f′（x）＞xf′（x），若a∈（2，3），则（　　）A.f（log2a）＜f（2a）＜f（2）   B.f（2a）＜f（2）＜f（log2a）C.f（2a）＜f（

2、log2a）＜f（2）   D.f（2）＜f（log2a）＜f（2a）3.若函数f（x）满足f′（x）-f（x）=2xex，f（0）=1，其中f′（x）为f（x）的导函数，则当x＞0时，的最大值为（　　）A.      B.2      C.2      D.4二、解答题4.已知函数f（x）=x2+mlnx+x（1）求f（x）的单调区间；（2）令g（x）=f（x）-x2，试问过点P（1，3）存在多少条直线与曲线y=g（x）相切？并说明理由．5.设函数f（x）=ax2+b（lnx-x），g（x）=-2+（1-b）x，已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y+1=0垂直

3、．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值点；（Ⅲ）若对于任意b∈（1，+∞），总存在x1，x2∈[1，b]，使得f（x1）-f（x2）-1＞g（x1）-g（x2）+m成立，求实数m的取值范围．参考答案【参考答案】1.A    2.C    3.B    4.解：（1）f（x）=x2+mlnx+x，（x＞0），f′（x）=x++1==，①m≥0时，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）递增，②m＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：x＜，∴f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（2）设切点为（x0，x0+mlnx0），则切线斜率k=1+，切线方程为y-（x0+

4、alnx0）=（1+）（x-x0）．因为切线过点P（1，3），则3-（x0+alnx0）=（1+）（1-x0）．即m（lnx0+-1）-2=0．           …①令g（x）=m（lnx+-1）-2（x＞0），则 g′（x）=m（-）=，①当m＜0时，在区间（0，1）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增；在区间（1，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以函数g（x）的最大值为g（1）=-2＜0．故方程g（x）=0无解，即不存在x0满足①式．因此当m＜0时，切线的条数为0．②当m＞0时，在区间（0，1）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，在区间（1，+∞）上，g′（x）

5、＞0，g（x）单调递增，所以函数g（x）的最小值为g（1）=-2＜0．取x1=e1+＞e，则g（x1）=a（1++e-1--1）-2=ae-1-＞0．故g（x）在（1，+∞）上存在唯一零点．取x2=e-1-＜，则g（x2）=m（-1-+e1+-1）-2=me1+-2m-4=m[e1+-2（1+）]．设t=1+（t＞1），u（t）=et-2t，则u′（t）=et-2．当t＞1时，u′（t）=et-2＞e-2＞0恒成立．所以u（t）在（1，+∞）单调递增，u（t）＞u（1）=e-2＞0恒成立，所以g（x2）＞0．故g（x）在（0，1）上存在唯一零点．因此当m＞0时，过点P（1，3）存在两条

6、切线．③当m=0时，f（x）=x，显然不存在过点P（1，3）的切线．综上所述，当m＞0时，过点P（1，3）存在两条切线；当m≤0时，不存在过点P（1，3）的切线．5.解：（Ⅰ），所以k=f'（1）=2a=-1，所以…（2分）（Ⅱ），其定义域为（0，+∞），，令h（x）=-x2-bx+b，x∈（0，+∞）△=b2+4b（i）当-4≤b≤0时，△=b2+4b≤0，有h（x）≤0，即f'（x）≤0，所以f（x）在区间（0，+∞）上单调递减，故f（x）在区间（0，+∞）无极值点；（ii）当b＜-4时，△＞0，令h（x）=0，有，，x2＞x1＞0，当x∈（0，x1）时，h（x）＜0，即f'（x）

7、＜0，得f（x）在（0，x1）上递减；当x∈（x1，x2）时，h（x）＞0，即f'（x）＞0，得f（x）在（x1，x2）上递增；当x∈（x2，+∞）时，h（x）＜0，即f'（x）＜0，得f（x）在（x2，+∞）上递减．此时f（x）有一个极小值点和一个极大值点．（iii）当b＞0时，△＞0，令h（x）=0，有，，当x∈（0，x2）时，h（x）＞0，即f'（x）＞0，得f（x）在（0，x2）上递增；当x∈（x2，+∞）时，h（x）＜0，即f'（x）