第34届全国物理竞赛复赛试题解答f

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1、第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答2017年9月16日一、（40分）一个半径为r、质量为m的均质实心小圆柱被置于一个半径为R、质量为M的薄圆筒中，圆筒和小圆柱的中心轴均水平，横截面如图所示。重力加速度大小为g。试在下述两种情形下，求小圆柱质心在其平衡位置附近做微振动的频率：（1）圆筒固定，小圆柱在圆筒内底部附近作无滑滚动；（2）圆筒可绕其固定的光滑中心细轴转动，小圆柱仍在圆筒内底R部附近作无滑滚动。解：（1）如图，为在某时刻小圆柱质心在其横截面上到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角。小圆柱受三个力作用：重力，圆筒对小

2、圆柱的支持力和静摩擦力。设圆筒对小圆柱的静摩擦力大小为F，方向沿两圆柱切点的切线方向（向右为正）。考虑小圆柱质心的运动，由质心运动定理得Fmgsinma①式中，a是小圆柱质心运动的加速度。由于小圆柱与圆筒间作无滑滚动，小圆柱绕其中心轴转过的角度（规定小圆柱在最低点1时0）与之间的关系为1Rr()②1由②式得，a与的关系为Rd2d211ar(Rr)③22dtdt考虑小圆柱绕其自身轴的转动，由转动定理得2d1rFI④2dt式中，I是小圆柱绕其自身轴的转动惯量12Imr⑤2由①②③④⑤式

3、及小角近似sin⑥得2d2g0⑦2dt3(Rr)由⑦式知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为1gf⑧π6(Rr)（2）用F表示小圆柱与圆筒之间的静摩擦力的大小，和分别为小圆柱与圆筒转过的角12度（规定小圆柱相对于大圆筒向右运动为正方向，开始时小圆柱处于最低点位置0）。12对于小圆柱，由转动定理得212d1Frmr⑨22dt对于圆筒，同理有22d2FR(MR)⑩2dt1由⑨⑩式得2221dd12FrR⑪22mMdtdt设在圆柱横截

4、面上小圆柱质心到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角，由于小圆柱与圆筒间做无滑滚动，有Rr()R⑫12由⑫式得222ddd12(Rr)rR⑬222dtdtdt设小圆柱质心沿运动轨迹切线方向的加速度为a，由质心运动定理得Fmgsinma⑭由⑫式得2da(Rr)⑮2dt由⑪⑬⑭⑮式及小角近似sin，得2d2Mmg0⑯2dt3MmRr由⑯式可知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为12Mmgf⑰2π3MmRr评分参考：第（1）问20分，①②式各3分，

5、③式2分，④式3分，⑤⑥式各2分，⑦式3分，⑧式2分；第（2）问20分，⑨⑩⑪式各2分，⑫式3分，⑬⑭⑮式各2分，⑯式3分，⑰式2分。二、（40分）星体P（行星或彗星）绕太阳运动的轨迹为圆锥曲线krP1cosC式中，r是P到太阳S的距离，是矢径SP相对于极r2L轴SA的夹角（以逆时针方向为正），k2,L是BAGMmSP相对于太阳的角动量，G6.671011m3kg1s2为RE30D引力常量，M1.9910kg为太阳的质量，22EL1为偏心率，m和E分别为P的质量和机械能。假设有一颗彗星绕太阳

6、运223GMm动的轨道为抛物线，地球绕太阳运动的轨道可近似为圆，两轨道相交于C、D两点，如图所11示。已知地球轨道半径R1.4910m，彗星轨道近日点A到太阳的距离为地球轨道半径E的三分之一，不考虑地球和彗星之间的相互影响。求彗星（1）先后两次穿过地球轨道所用的时间；（2）经过C、D两点时速度的大小。xdx23/21/2已知积分公式xa2axaC，式中C是任意常数。xa32解：（1）由题设，彗星的运动轨道为抛物线，故1,E0①彗星绕太阳运动的轨道方程为：kr②1cos彗星绕太阳运动过程中，机

7、械能守恒212Lmr&VrE0③222mr式中MmVrG④r当彗星运动到近日点A时，其径向速度为零，设其到太阳的距离为r，由③式得min2LMm2VrminG⑤2mrrminmin由⑤式和题给条件得2LREr⑥2min2GMm3由③式得2dr2GML22dtrmr或drdt⑦22GML22rmr设彗星由近日点A运动到与地球轨道的交点C所需的时间为t，对⑦式两边积分，并利用⑥式得REdr1RErdrtR⑧r2Emin2GML2GM3REr223rmr对⑧式应用题给积分公式得

8、1RErdrtRE2GM3REr33/21/212RE2RERERERE⑨2GM333332103RE27GM由对称性可知，彗星两次穿越地球轨道所用的时间间隔为32203RET2t⑩27GM将题给数据代