函数逼近与计算

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1、§3函数平方逼近用均方误差最小作为度量标准，研究函数的逼近多项式，就是最佳平方逼近问题。若存在，使就是在上的最佳平方逼近多项式.12由于是关于的二次函数，利用多元函数求极值的必要条件于是有(内积定义)3这是关于的线性方程组，称为法方程，由于线性无关，故系数行列式，于是此方程组有唯一解，从而得到4定理5.在上线性无关的充分必要条件是它的克来姆（Gramer）行列式，其中5若令，则平方误差为由于所以6若取，则要在中求n次最佳平方逼近多项式若用H表示对应的矩阵，即7此为希尔伯特（Hilbert）矩阵，记，则的解即

2、为所求。8例:设，求[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。解:利用公式得方程组为解出9平方误差最大误差用做基，求最佳平方逼近多项式，当n较大时，系数矩阵是高度病态的，求法方程的解，舍入误差很大，这时要用正交多项式做基，才能求得最小平方逼近多项式。10§4正交多项式若首项系数的n次多项式,满足就称多项式序列，在[a,b]上带权正交，并称是[a,b]上带权的n次正交多项式。11构造正交多项式的格拉姆－施密特（Gram-Schmidt）方法定理：按以下方式定义的多项式集合是区间[a,b]上关于权函数的正交函数族。

3、12例：求在［0，1］上的二次最佳平方逼近多项式。解：构造正交多项式13144-1勒让德多项式当区间为［-1,1］，权函数时，由正交化得到的多项式就称为勒让德(Legendre)多项式，并用表示。是n次多项式，对其n次求导后得15首项的系数显然最高项系数为1的勒让德多项式为16勒让德(Legendre)多项式具体表达式为17性质1正交性证明：反复用分部积分公式，略。性质2奇偶性n为偶数时为偶函数，n为奇数时为奇函数。性质3递推关系证明略。18性质4在所有最高项系数为1的n次多项式中，勒让德多项式在［－1，1

4、］上与零的平方误差最小。性质5在区间［－1，1］内有n个不同的实零点。194-2第一类切比雪夫（Chebyshev）多项式当区间为[-1,1]，权函数时，由序列正交化得到的正交多项式就是第一类切比雪夫（Chebyshev）多项式。它可表示为若令当在[-1,1]上变化时，对应的在［0，π］上变化，其可改写成20具体表达式为是首项系数为的n次多项式。21性质1递推关系这只要由三角恒等式性质2最高项系数为1的对零的偏差最小。即在区间[-1,1]上所有最高项系数为1的一切n次多项式中，与零的偏差最小，偏差为其22例

5、：求在[-1,1]上的最佳2次逼近多项式。解：最佳逼近多项式应满足由性质2知，当即时，与零偏差最小，故就是在［-1,1］上的最佳2次逼近多项式。23性质3切比雪夫多项式在区间[-1,1]上带权正交，且24性质4只含的偶次幂，只含的奇次幂.性质5在区间［-1，1］上有个n零点25可用的线性组合表示，其公式为具体表达式为264-3其他常用的正交多项式一般说，如果区间[-1,1]及权函数不同,则得到的正交多项式也不同。除上述两种最重要的正交多项式外，下面再给出三种较常用的正交多项式。1、第二类切比雪夫多项式在区间

6、[-1,1]上带权的正交多项式称为第二类切比雪夫多项式，其表达式为27由，可得即是[-1,1]上带权的正交多项式族，还可得到递推关系式282.拉盖尔多项式在区间上带权的正交多项式称为拉盖尔（Laguerre）多项式，其表达式为它也具有正交性质和递推关系293、埃尔米特多项式在区间上带权的正交多项式称为埃尔米特（Hermite）多项式，其表达式为它满足正交关系并有递推关系304-4函数按正交多项式展开设，用正交多项式作基，求最佳平方逼近多项式由的正交性及方程组求解，可求得系数于是，的最佳平方逼近多项式为31均

7、方误差为下面考虑函数按勒让德多项式展开求最佳平方逼近多项式,根据上面公式有其中平方误差为32例：求在[-1,1]上的三次最佳平方逼近多项式。33故三次最佳平方逼近多项式均方误差最大误差34如果，求上的最佳平方逼近多项式，做变换于是在[-1,1]上可用勒让德多项式做最佳平方逼近多项式，从而得到区间上的最佳平方逼近多项式。35例：用Legendre正交多项式做基函数，求在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。解：在区间[-1,1]上的一次最佳平方逼近多项式，由36可知37由于勒让德多项式是在区间[-1,1]

8、上由正交化得到的，因此利用函数的勒让德展开部分和得到最佳平方逼近多项式与由直接通过解法方程得到中的最佳平方逼近多项式是一致的，只是当n较大时求法方程出现病态方程，计算误差较大，不能使用，而用勒让德展开不用解线性方程组，不存在病态问题，计算公式也较方便，因此通常都用这种方法求最佳平方逼近多项式。3839