工学]专题讲座-小波变换

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1、专题讲座—小波变换主要内容引言时频展开使用Matlab若干应用场景引言傅里叶变换应用非常广泛的原因可能是:直观性数学上的完美性计算上的有效性仍有局限性：在整个时间轴上积分,表示了信号的全局特征(变换后,时间是亚元)如果需要分析信号的局部信号怎么办?乐谱油田勘探……时频展开时频展开希望定义一种工具能帮助计算信号x(t)的瞬时傅里叶变换，记为X(ґ,F)如何定义一组能够表现出信号瞬时性的基函数，该基函数必须包括两个基本变量时间ґ和频率F时频展开主要内容短时傅里叶变换STFTGabor变换GT连续小波变换CWT小波变换WT短时傅里叶变换ST

2、FT确定信号局部频率特性的比较简单的方法是在时刻ґ附近对信号加窗，然后计算傅里叶变换。X(ґ,F)=STFT{x(t)}=FT{x(t)w(t-ґ)}其中，w(t-ґ)是一个以时刻ґ为中心的窗函数，注意信号x(t)中的时间t和X(ґ,F)中的ґ。窗函数w根据ґ进行了时移，扩展傅里叶变换表达式短时傅里叶变换操作示意问题实际运用中处理的问题与上述描述恰好相反：给定一个信号，希望能够在时域和频域上定位信号发生的事件，因此时间ґ和频率F都是不确定的，即按上述的分析不可行（结果不确定或有误差）分析中，分辨率的损失是由于窗函数w(t)的时域宽度及

3、傅里叶变换的频率带宽所决定的；信号不能同时在时域和频域准确定位测不准定理Gabor变换引言STFT将一个连续时间变量t的信号x(t)变换为有两个连续时间变量的X(ґ,F)意味着STFT包含了很多的冗余信息将频率F离散化，F=Kf0将时间离散化，在ґ=mT0采样Gabor变换：X[m,k]=X(mT0,kF0)Gabor变换通过Gabor变换，信号x(t)被展开为：Gabor变换公式：小波变换是强有力的时频分析(处理)工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的。已成功应用于很多领域，如信号处理、图像处理、模式识别等。小波变换的一个重

4、要性质是它在时域和频域均具有很好的局部化特征，它能够提供目标信号各个频率子段的频率信息。这种信息对于信号分类是非常有用的。小波变换一个信号为一个小波级数，这样一个信号可由小波系数来刻画。小波变换数学显微镜部分小波波形小波基函数将信号在这个函数系上分解，就得到连续小波变换小波分析小波变换通过平移母小波(motherwavelet)可获得信号的时间信息，而通过缩放小波的宽度(或者叫做尺度)可获得信号的频率特性。对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波的系数，这些系数代表小波和局部信号之间的相互关系。连续小波变换离散小波变换连续小波变换whe

5、re:a－缩放因子ґ－时间平移注意：在CWT中，scale和position是连续变化的CWT的变换过程把小波ψ(t)和原始信号f(t)的开始部分进行比较计算系数c。该系数表示该部分信号与小波的近似程度。系数c的值越高表示信号与小波越相似，因此系数c可以反映这种波形的相关程度把小波向右移，距离为k，得到的小波函数为ψ(t-k)，然后重复步骤1和2。再把小波向右移，得到小波ψ(t-2k)，重复步骤1和2。按上述步骤一直进行下去，直到信号f(t)结束扩展小波ψ(t)，例如扩展一倍，得到的小波函数为ψ(t/2)重复步骤1~4CWT的变换过

6、程图示CWT小结小波的缩放因子与信号频率之间的关系可以这样来理解。缩放因子小，表示小波比较窄，度量的是信号细节，表示频率w比较高；相反，缩放因子大，表示小波比较宽，度量的是信号的粗糙程度，表示频率w比较低。离散小波变换在计算连续小波变换时，实际上也是用离散的数据进行计算的，只是所用的缩放因子和平移参数比较小而已。不难想象，连续小波变换的计算量是惊人的。为了解决计算量的问题，缩放因子和平移参数都选择2^j(j>0的整数)的倍数。使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换叫做双尺度小波变换(dyadicwavelettransform)，它是

7、离散小波变换(discretewavelettransform，DWT)的一种形式。离散小波变换定义需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数和连续平移参数的，而不是针对时间变量t的。使用离散小波分析得到的小波系数、缩放因子和时间关系如图所示。图(a)是20世纪40年代使用Gabor开发的短时傅立叶变换(shorttimeFouriertransform，STFT)得到的时间-频率关系图图(b)是20世纪80年代使用Morlet开发的小波变换得到的时间-缩放因子(反映频率)关系图。离散小波变换分析图DWT变换方法执行离散小波变

8、换的有效方法是使用滤波器该方法是Mallat在1988年开发的，叫做Mallat算法这种方法实际上是一种信号的分解方法，在数字信号处理中称为双通道子带编码用滤波器执行离散小波变换的概念如图所示S表示原始的输入信号，通过两