概率密度函数的性质

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1、第二章二、概率密度函数的性质一、概率密度函数的概念第五节连续性随机变量三、连续型随机变量的分布函数1离散型随机变量的可能值可以一一列举出来，但另一类随机变量它们的可能取值不止有限个或可列个，其取值是充满某一个区间，即不能用分布列表示X的取值及其概率。因此通过所谓概率密度来描述这类随机变量的统计规律性。本节将要用到由定积分变上限确定的函数及其导数，还要用到指数函数及图形特点等知识。一、概率密度函数的概念2对于随机变量X，若存在非负函数使对任意实数则称X为连续型随机变量，为X的概率密度函数，简称密度函数或密度.都有的概率分布规律

2、就得到了全面描述.所以若已知密度函数，该连续型随机变量定义1、p(x)0xx3面积为1这两条性质是判定一个函数是否为某随机变量X的密度函数的充要条件。性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；(2)归一性(1)非负性p(x)0x1二、概率密度函数的性质4即X落在上的概率上曲线之下的曲边梯形的面积。（4）若在点x处连续，则有这表示X落在小区间[x,x+Δx]上的概率近似地等于若不计高阶无穷小，有：p(x)x0密度函数的几何意义5若的进一步理解:对的连续点，则：是如果把概率理解为质量，故X的密度在这一点的值，恰好是X落在的概率与区

3、间长度之比的极限.这里，相当于线密度.区间不是概率.所起的作用与理论中所起的作用相类似.在连续型随机变量理论中在离散型随机变量6（5）对任意实数a，则称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.可见，由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出B=S这是因为7的高度反映了概率集中在该点附近的程度.要注意的是:密度函数并不是的概率.但是这个高度越大，则X取附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；p(x)0x1由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们所关心的是它在某一区间上取值的

4、问题．在某点处的高度8对连续型随机变量X,有9例1某种晶体管的寿命（h)是随机变量X，其密度求1、常数k.2、该晶体管不能工作150h的概率。3、一台仪器中装有4只此种晶体管，至少有1只失效的概率。工作150h后，解1、3、设Ai“第i只晶体管150h失效”10由于相互独立，则所求的概率为11三、连续性随机变量的分布函数对于连续性随机变量X，存在密度函数使对任意实数则称F(x)为连续型随机变量X的分布函数，都有分布规律就得到了全面描述。由于连续型随机变量的分布确定.所以若已知密度函数，该连续型随机变量的概率函数唯一被它的密度

5、函数所p(x)0x12连续性随机变量分布函数的性质p(x)0x(1)是连续的单增函数13（2）若在点x处连续，则有面积为1(3)p(x)0x114试说明设有函数不满足性质(1)，故可见F(x)也不能是随机变量的分布函数.或者能否是某个随机变量的分布函数.解：注意到函数在上下降，不能是分布函数.不满足性质(2)，例115例2解16求A、B.解例3已知17设随机变量X的密度函数为求解：对x<0，对对即例418求F(x).设例5=01F(x)解19也可求出即对连续型随机变量，若已知，我们通过求导20例6设X是连续性随机变量，其分布

6、密度为（1）确定常数A的值;（2）求F(x)；解2122作业P141121323