线性代数第4章

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1、第四章矩阵的特征值与特征向量第四章方阵的特征值与特征向量§4.1引例为了定量分析工业发展与环境污染问题,某地区提出如下增长模型:设是该地区目前的污染损耗(由污染,河流,湖及大气等污染指数测得),是该地区目前的工业产值.以五年为一个发展周期,一个周期后的污染损耗和工业产值分别记为和,它们之间的关系是:问题(一)预测10个周期后的污染损耗和工业产值.写成矩阵形式:§4.2特征值与特征向量说明：（1）A必须是方阵；（2）特征值可能是实数也可能是复数；（3）特征向量一定是非零向量.解:（1）式可等价的写为即（2）式存在非零解向量2、求特征值与特征向

2、量的方法定义A的特征矩阵A的特征多项式（的n次多项式）A的特征方程A的特征方程的根称为A的特征根，A的特征根即A的特征值.求A特征值与特征向量的方法：1.写出特征多项式解得所有特征值解出方程组的一个基础解系解A的特征多项式一个基础解系一个基础解系解A的特征多项式一个基础解系一个基础解系§4.3特征值与特征向量的性质设A是一个n阶方阵，A的特征多项式它的展开式中（按任一行或一列）有一项是主对角线上元素的乘积其余各项至多包含n-2个主对角线上元素，的次数最多是n-2.因此特征多项式中含的n次与n-1次的项只能在主对角线上元素的乘积中，它们是

3、于是由根与系数关系可知定义A的迹定理4.1方阵A在复数域内它一定有n个特征根.推论4.1n阶矩阵A是可逆矩阵A没有零特征值.定理4.3不同的特征值所对应的特征向量线性无关。证明数学归纳法当t=1时，由于特征向量而任何一个非0向量线性无关，因此命题成立.设A的t-1个互不相同的特征值其对应的（下面证明对t个也成立）设存在一组数，使成立，（1）左乘A，有于是（1）式化为=60不同的特征值所对应的特征向量线性无关.A有n个不同的特征值A一定有n个线性无关的特征向量.定理4.4则向量组线性无关.=30例3证由题知反证同一特征值的特征向量的线性

4、组合仍是这一特征值的特征向量分属不同特征值的特征向量的线性组合不是特征向量例4填空1、A为n阶方阵，AX=0有非0解，则A必有一特征值0解抽象问题从定义出发（1）两边左乘A，得=0可得即§4.4矩阵的对角化一相似矩阵及其性质相似矩阵具有性质：（3）相似矩阵有相同的行列式、迹.二.矩阵对角化的条件定义4.4一个n阶矩阵A能与对角阵相似称为A可以对角化定理4.6说明若能求出A的n个线性无关特征向量，则A可对角化；且对角阵主对角线元素恰好是特征向量依次对应的特征值。定理4.7若n阶矩阵A有n个不同的特征值，则A一定有n个线性无关的特征向量，从

5、而A一定能与对角阵相似。例1：判断下列矩阵能否与对角阵相似，若能，写出对角阵。综上：所有特征值对应的齐次线性方程组的基础解系解向量（线性无关的向量）的个数之和等于n，则可以对角化个向量恰为对应的线性无关的特征重特征值的每一个阶矩阵iiinnAnl可对角化AÛ定理:4.8三.矩阵对角化的实现1.写出特征多项式解所有特征值解出方程组的一个基础解系3.用2中求得的特征向量形成矩阵P则：解：例2判别矩阵能否对角化，并求得一个基础解系时，由得一个基础解系时，由从而A有3个线性无关的特征向量，故A可以对角化，令应有，所以求得从而四.n阶实对称矩阵的对角化

6、正交矩阵。回忆：性质：定理4.9实对称矩阵的任一特征值一定是实数。定理4.10实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交。注:求正交矩阵Q的关键是求矩阵A的n个标准正交的特征向量。定理4.11任意一个n阶实对称矩阵,则存在正交矩阵Q使2）对于A的每一个不同的特征值，求出属于特征值的实对称矩阵的对角化对于n阶实对称矩阵A求正交矩阵Q及对角标准形的具体步骤：1）求出A的全部特征值。线性无关的特征向量（3）用正交化方法将标准正交化4)用所得的正交单位向量作为列，令则：解：求正交矩阵Q使得例3设例4设，解求正交矩阵Q，使