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1、1如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a,PB=PD=,点E是PD的中点.（I）证明PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的正切值.（04湖南18）DEPBAC2如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC与BD交于点E，CB与CB1交于点F.（I）求证：A1C⊥平BDC1；（II）求二面角B—EF—C的大小（结果用反三角函数值表示）.3在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M为AB的中点.（Ⅰ）证明：AC⊥SB；（Ⅱ）求二面角N
2、—CM—B的大小；（Ⅲ）求点B到平面SCM的距离.（04福建1）4如图,P—ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点,截面DEF∥底面ABC,且棱台DEF—ABC与棱锥P—ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)（1）证明：P—ABC为正四面体；（2）若PD=PA,求二面角D—BC—A的大小；(结果用反三角函数值表示)5（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，（1）证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；（2）若,求二面角E—AB—D平面角.66如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，是PC
3、的中点。（1）证明平面EDB；（2）求EB与底面ABCD所成的角的正切值。7如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点.（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；（Ⅱ）求证AM⊥平面BDF；（Ⅲ）求二面角A—DF—B的大小；PCAB8如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=8，AD=4，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.（Ⅰ）求四棱锥P—ABCD的体积；（Ⅱ）证明PA⊥BD.DCEFMABP9三棱锥P—ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3.(1)求证AB⊥BC；(2)如果AB=BC=，求
4、侧面PBC与侧面PAC所成二面角的大小10.如图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.（I）求点P到平面ABCD的距离；（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.1因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，由PA2+AB2=2a2=PB2知PA⊥AB.同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.因为所以、、共面.又PB平面EAC，所以PB//平面EAC.（Ⅱ）解作EG//PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD.知EG⊥平面ABCD.作GH⊥
5、AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角.又E是PD的中点，从而G是AD的中点，所以2（Ⅰ）∵A1A⊥底面ABCD，则AC是A1C在底面ABCD的射影.∵AC⊥BD.∴A1C⊥BD.同理A1C⊥DC1,又BD∩DC1=D,∴A1C⊥平面BDC1.（Ⅱ）取EF的中点H，连结BH、CH，又E、F分别是AC、B1C的中点，3（Ⅰ）取AC中点D，连结DS、DB.∵SA=SC，BA=BC，∴AC⊥SD且AC⊥DB，∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，∴AC⊥SB.（Ⅱ）∵SD⊥AC，平面SAC⊥平面ABC，∴SD⊥平面ABC.过D作DE⊥CM于E，连结SE，则SE⊥C
6、M，∴∠SED为二面角S－CM－A的平面角.由已知有，所以DE=1，又SA=SC=2，AC=4，∴SD=2.在Rt△SDE中，tan∠SED==2，∴二面角S－CM—A的大小为arctan2.（Ⅲ）在Rt△SDE中，SE=，CM是边长为4正△ABC的中线，.∴S△SCM=CM·SE=，设点B到平面SCM的距离为h，由VB-SCM=VS-CMB，SD⊥平面ABC，得S△SCM·h=S△CMB·SD，∴h=即点B到平面SCM的距离为4(1)∵棱台DEF—ABC与棱锥P—ABC的棱长和相等,∴DE+EF+FD=PD+PE+PF.又∵截面DEF∥底面ABC,∴DE=EF=FD=PD=PE
7、=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°,∴P—ABC是正四面体.【解】(2)取BC的中点M,连接PM,DM.AM.∵BC⊥PM,BC⊥AM,∴BC⊥平面PAM,BC⊥DM,则∠DMA为二面角D—BC—A的平面角.由(1)知,P—ABC的各棱长均为1,∴PM=AM=,由D是PA的中点,得sin∠DMA=,∴∠DMA=arcsin.5（I）证明：因PA⊥底面，有PA⊥AB，又知AB⊥AD，故AB⊥面PAD，推得BA⊥AE，又AM∥CD∥EF，且AM=EF，证得AEFM是矩形，故
