多元函数微积分(IV)

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1、第四章多元函数微积分第一节多元函数微分第二节多元函数积分第一节多元函数微分一、多元函数的定义二、二元函数的极限与连续三、偏导数及全微分四、多元函数的极值一、多元函数的定义1.预备知识1）邻域点集称为点P0的邻域.例如,在平面上,在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径,也可写成点P0的去心邻域记为平面上的方邻域为。可以互相包含.在讨论实际问题中也常使用方邻域,因为方邻域与圆邻域2）区域设有点集E及一点P:若存在点P的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)∩E=,则称P为E的内点；则称P为E的外点;则称P为E的边界点.的外点,显然,

2、E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含EE的边界点的全体称为E的边界若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,则称D是连通的，即D为连通集若点集E的点都是内点，则称E为开集；若点集EE,则称E为闭集；开区域连同它的边界一起称为闭区域.连通的开集称为开区域,简称区域;若存在某一正数r,使EU（o，r），其中o是原点坐标，则称E为有界点集；否则称为无界点集例如，在平面上开区域闭区域2.多元函数定义定量理想气体的压强三角形面积的海伦公式多变量

3、之间依赖关系举例：定义设非空点集点集D称为函数的定义域;数集称为函数的值域.特别地,当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数映射称为定义在D上的n元函数,记作二、二元函数的极限与连续1.二元函数的极限则称A为函数z=f(x,y)当时的极限，设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内有定义(点P0可以除外)，如果当点P(x,y)无限地接近于点P0(x0,y0)时，记为定义1恒有为了区别于一元函数的极限，二元函数的极限也叫做二重极限例当(x,y)沿y轴趋向于原点，解考察函数但是，当点(x,y)沿着直线y=kx(k0)趋向于点(0,0)时，

4、即当y=kx，而当点(x,y)沿y轴趋向于原点，有随着k的取值不同，时，设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的一个邻域内有定义，2.二元函数的连续性且等于它在点P0处的函数值，如果当点P(x,y)趋向于点P0(x0,y0)时，函数z=f(x,y)的极限存在，定义则称函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续.若函数f(x,y)在开区域（或闭区域）D内的每一点连续，称函数f(x,y)在D内连续，或者称f(x,y)是D内的连续函数若函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处不连续，则称P0为函数f(x,y)的间断点三、偏导数及全微分1.偏导数定义

5、在点存在,则称此极限为函数的偏导数，记为的某邻域内极限设函数注意:同样可定义对y的偏导数为若函数在域内每一点处对x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,记为或y偏导数存在,二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点M0处的切线对x轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线对y轴的2.高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:其中第二、三个偏导数称为混合偏导数。类似可以定义更高阶的偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数例如，关于的三阶偏导数为

6、关于的阶偏导数,再关于的一阶偏导数为3.全微分定义如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点P(x,y)可表示成其中A,B不依赖于x,y,仅与x,y有关，则称函数称为函数在点(x,y)的全微分,记作若函数在域D内各点都可微,f(x,y)在点P(x,y)可微，处的全增量则称此函数在D内可微.定理1(必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点偏导数同样可证证:由全增量公式必存在,且有得到对x的偏增量因此有反例:函数易知但因此,函数在点(0,0)不可微.注意:定理1的逆定理不成立.即:偏导数存在函数不一定可微!定理2(充分条件)证：若

7、函数的偏导数则函数在该点可微分.所以函数在点可微.注意到,故有4.多元复合函数的求导公式1）多元复合函数的求导法则处偏导连续,则复合函数定理1若函数在点t可导,且有链式法则推广:设下面所涉及的函数都可微.（1）中间变量多于两个的情形.例如,（2）中间变量是多元函数的情形.例如,2）全微分形式的不变性设函数具有连续偏导数的全微分为可见无论u,v是自变量还是中间变量,其全微分表达,则复合函数形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.两端对x求导，5.隐函数的求导公式设方程F(x,y)=0确定了函数y=y(x)，得则得到一元隐函数的求导公式.两边分别对x，y求导

8、，设方程F(x,y,z)=0确定了隐函数z=z(x,y),若Fx，Fy，Fz连续