多元函数的极值与条件极值

多元函数的极值与条件极值

ID:40359434

大小:473.10 KB

页数:26页

时间:2019-08-01

多元函数的极值与条件极值_第1页
多元函数的极值与条件极值_第2页
多元函数的极值与条件极值_第3页
多元函数的极值与条件极值_第4页
多元函数的极值与条件极值_第5页
资源描述:

《多元函数的极值与条件极值》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库

1、6-6多元函数的极值及其求法三、条件极值拉格朗日乘数法一、多元函数的极值二、多元函数的最大值和最小值1、二元函数极值的定义一、多元函数的极值设函数),(yxfz=在点),(00yx的某邻域内有定义,对于该邻域内任何异于的点),(yx若满足不等式),(),(00yxfyxf<,则称函数在),(00yx有极大值;若满足不等式),(),(00yxfyxf>则称函数在),(00yx有极小值。极大值、极小值统称为极值使函数取得极值的点称为极值点),(00yx例1例2例3处有极小值.在函数)0,0(4322yxz+=处有极大值.在函数)0,0(22yxz+-=处无极值

2、.在函数)0,0(xyz=2、多元函数取得极值的条件证不妨设定理1(必要条件)设函数),(yxfz=在点),(00yx具有偏导数,且在点),(00yx处有极值,则它在该点的偏导数必然为零:0),(00=yxfx,0),(00=yxfy.),(yxfz=在点),(00yx处有极大值,则对于),(00yx的某邻域内任意都有<),(yxf),(00yxf,推广如果三元函数),,(zyxfu=在点),,(000zyxP具有偏导数,则它在),,(000zyxP有极值的必要条件为:0),,(000=zyxfx,0),,(000=zyxfy,0),,(000=zyxfz

3、.说明一元函数),(0yxf在0xx=处有极大值,必有0),(00=yxfx;故当0yy=,0xx¹时,有<),(0yxf),(00yxf,问题:如何判定一个驻点是否为极值点?例如,点)0,0(是函数xyz=的驻点,但不是极值点.定理2(充分条件)设函数),(yxfz=在点),(00yx的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数,驻点:凡是能使fx(xy)0fy(xy)0同时成立的点(x0y0)称为函数zf(xy)的驻点提示1.具有偏导数的函数的极值点必定是驻点2.函数的驻点不一定是极值点又0),(00=yxfx,0),(00=yxfy

4、,令Ayxfxx=),(00,Byxfxy=),(00,Cyxfyy=),(00,则),(yxf在点),(00yx处是否取得极值的条件如下:(1)02>-BAC时具有极值,当0A时有极小值;(2)02<-BAC时没有极值;(3)02=-BAC时可能有极值,也可能没有极值,还需另作讨论.解例4求函数的极值先解方程组求得驻点为将上方程组再分别对yx,求偏导数,在点处,又所以函数在处有极小值在点处,所以不是极值;在点处,所以不是极值;在点处,又所以函数在处有极大值求函数),(yxfz=极值的一般步骤:第一步解方程组求出实数解,得驻点.第二步

5、对于每一个驻点),(00yx,求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步定出2BAC-的符号,再判定是否是极值.求极值的步骤总结与一元函数类似,可能的极值点除了驻点之外,偏导数不存在的点也可能是极值点。例如,显然函数不存在。假设函数在D上连续,偏导数存在且驻点只有有限个,则求最值的一般步骤为:1、求函数在D内部所有驻点处的函数值;2、求在D的边界上的最大值和最小值;3、将前两步得到的所有函数值进行比较,其中最大者即为最大值,最小者即为最小值。与一元函数相类似,我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.二、多元函数的最大值和最小值解如图,解设水箱的长为宽为则

6、其高应为则水箱所用材料的面积求偏导数得例6某工厂要用铁板做成一个体积为的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省。解这方程组,得根据题意可知,水箱所用材料面积的最小值一定存在,并在开区域内取得。又函数在内只有唯一的驻点因此当时,取得最小值。即当水箱的长为宽为高为时,水箱所用的材料最省。实例:小王有200元钱,他决定用来购买两种急需物品:计算机磁盘和录音磁带,设他购买x张磁盘,y盒录音磁带达到最佳效果,且效果函数为U(x,y)=lnx+lny.设每张磁盘8元,每盒磁带10元,问他如何分配这200元以达到最佳效果.问题的实质:求在条件下的

7、极值点.三、条件极值拉格朗日乘数法1.条件极值对自变量有附加条件的极值称为条件极值.上述问题就是求函数Vxyz在条件2(xyyzxz)a2下的最大值问题,这是一个条件极值问题.例如,求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积问题.设长方体的三棱的长为x,y,z,则体积Vxyz.又因假定表面积为a2,所以自变量x,y,z还必须满足附加条件2(xyyzxz)a2.要找函数),(yxfz=在条件0),(=yxj下的可能极值点,先构造函数),(),(),(yxyxfyxFlj+=其中l为某一常数,可由ïîïíì==+=+.0),(,0),(),(,0

8、),(),(yxyxyxfyxyxfyyxxjljlj解出l,,y

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文

此文档下载收益归作者所有

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,天天文库负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。