多元函数的概念、极限与连续

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1、2.1多元函数的基本概念第2章多元函数微分学复习:数轴上的邻域回忆2.1.1n维空间Rn点集的有关概念（1）邻域°°二维平面上的点集（2）区域例如，即为开集．内点.内点：开集：开集.边界点：边界点.连通：连通的.开区域：连通的开集称为开区域．例如，例如，闭区域：开区域和闭区域统称区域．对于点集E，如果存在正数K，使一切点P∈E与某一点A间的距离

2、AP

3、不超过K，即对于一切点P∈E成立，则称E为有界点集。否则称为无界点集.有界闭区域；无界开区域．例如，（3）聚点（1）内点一定是聚点；说明：（2）边界点可能是聚点；例如，(

4、0,0)既是边界点也是聚点．（3）点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0,0)是聚点但不属于集合．例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．（1）内点一定是聚点；说明：（2）边界点可能是聚点；例如，(0,0)既是边界点也是聚点．（4）n维空间实数x一一对应数轴点.数组(x,y)实数全体表示直线(一维空间)一一对应平面点(x,y)全体表示平面(二维空间)数组(x,y,z)一一对应空间点(x,y,z)全体表示空间(三维空间)推广：n维数组(x1,x2,…,xn)全体称为n维空间，记为n维空间中两点间距离公式设两点为

5、特殊地，当n=1,2,3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．n维空间中邻域概念：区域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．回忆2.1.2多元函数的概念点集D---定义域，---值域.x、y---自变量，z---因变量.类似地可定义三元及三元以上函数．点集D---定义域，---值域.x、y---自变量，z---因变量.函数的两个要素:定义域、对应法则.与一元函数相类似，对于定义域约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切点集.例1求的定义域．解所求定义域为例2.5求下列函数的定义域：解xyz0yxz例2.6解所

6、以于是表示多元函数的方法也有多种，如公式法、图形法、表格法等。2.1.3二元函数的图形（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面.例如,图形如右图.例如,左图,球面.单值分支:0xyz图1yxz0图22.1.4n元向量值函数(略)2.2.1多元函数的极限-----二重极限2.2多元函数的极限与连续利用点函数的形式有说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．（4）二重极限的几何意义：>0，P0的去心邻域ºU(P0,)。在ºU(P0,)内，函数的

7、图形总在平面及之间。补例1求证证当时，原结论成立．例2.8证明证因为所以所以例2.9证明证因为所以由夹逼原理知，例2.10求下列极限：（1）（2）（3）（4）解（1）因为所以（2）因为（3）其中（4）或者，注意：是指P以任何方式趋于P0.一元中多元中确定极限不存在的方法：例2.11解但取其值随k的不同而变化。不存在．故2.2.2多元函数的连续性定义3定义3′注意：二元函数可能在某些孤立点处间断，也可能在曲线上的所有点处均间断。例如，因此，例2.12讨论函数的连续性。解函数f的定义域是不包含两坐标轴，但包含原点的平面R2

8、上所有点的集合。又因为坐标原点（0，0）是定义域的聚点，且所以函数f在（0，0）处连续。而f在其定义域中的其他点上是连续的，因此该函数在其定义域上是连续的。例2.13讨论函数在（0，0）处的连续性。解因为所以函数f在（0，0）处连续。多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”：例2.14求下列函数的极限：（1）（2）（3

9、）解（1）（2）显然点（1，0）为函数的连续点，所以（3）因为令x2+y2=t,而而所以从而即2.2.3闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理