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《微分几何第二章曲面论21曲面的概念》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二章曲面论内容提要1、曲面的概念（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线）2、曲面的第一基本形式(第一基本形式、曲线的弧长、正交轨线、曲面域的面积、等距变换、保角变换）3、曲面的第二基本形式(第二基本形式、曲面曲线的曲率、杜邦指标线、渐近线、曲率线等）4、直纹面和可展曲面（直纹面、可展曲面）5、曲面论的基本定理（基本方程、基本定理）6、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯—波涅公式、曲面上向量的平行移动）7、常高斯曲率曲面（常高斯曲率的曲面、伪球面、罗氏几何）第一节曲面的概念1、1简单曲面及其参数表示一、初等区域平面上的不自交的闭曲线称
2、为约当曲线。约当曲线将平面分成两部分，并且每一部分都以它为边界，它们中有一个是有限的，另一个是无限的，有限的区域称为初等到区域。约当曲线的内部称为初等区域。如矩形的内部、园的内部等。如果平面上的初等区域到三维欧氏空间的对应是一一的、在上的、双方连续的映射（拓朴映射），则把三维空间中的象称为简单曲面。今后我们所用的都是简单曲面或曲面。如：一矩形纸片（初等区域）可以卷成有裂缝的园柱面。如果它是橡皮膜，还可变成园环面。二、简单曲面三、曲面的方程初等区域G中的点的的笛氏坐标为(u,v)，它的拓朴象为曲面S，其上的点的笛氏坐标为(x,y,z)，
3、故有x=f1(u,v),y=f2(u,v),z=f3(u,v),(u,v)∈G称为曲面S的参数表示或参数方程，u和v称为曲面S的参数或曲纹坐标。习惯上写作x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),(u,v)∈G例：园柱面；球面；旋转面。四、坐标曲线；曲纹坐标网。曲面上一点P的直角坐标为（x,y,z），它的曲纹坐标为（u,v）。现在取v=常数而u变化时的曲线叫u-曲线(u线）u=常数而v变化时的曲线叫v-曲线（v线）面上构成坐标网，称为曲面上的曲纹坐标网。对于曲面上任一点P，两族曲线中各有一条经过它。（例题）1、2光滑曲面、
4、曲面的切平面和法线一、光滑曲面、正常点、正规坐标网1、若曲面x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)或r=r(u,v)中的函数有直到k阶的连续微商，则称为k阶正则曲面或类曲面。类的曲面又称为光滑曲面。2、过曲面上一点(u0,v0)有一条u--曲线：r=r(u,v0)和一条v—曲线：r=r(u0,v),该点处这两条坐标曲线的切向量为如果它们不平行，即ru×rv在该点不为零，则称该点为曲面的正常点。3、正规坐标网由ru，rv的连续性，若ru×rv在(u0,v0)点不为零，则总存在该点的一个邻域U，使在这个邻域内有ru×rv不为
5、零，于是在这片曲面上，有一族u线和一族v线，它们不相切，构成一正规坐标网。4、曲面在正常点的邻域中总可用显函数的形式表示，即有z=z(x,y),事实上，由3，ru×rv在(u0,v0)点不为零，则总存在该点的一个邻域U，使在这个邻域内有ru×rv不为零，故的坐标中的三个二级子式中至少有一个不为0，不妨设第一个不为0，即由隐函数定理，x=x(u,v),y=y(u,v)在U中存在唯一的单值连续可微函数u=u(x,y),v=v(x,y),代入得z=z[u(x,y),v(x,y)]=z(x,y)。二、曲面的切平面设曲面曲线为(c)：u=u(t
6、),v=v(t),或r=r[u(t),v(t)]=r(t)，这条曲线在曲面上(u0,v0)处的切方向称为曲面在该点的切方向或方向，它平行于其中分别是在(u0,v0)点处的两条坐标曲线的切向量。以下切方向几种表示通用：du:dv,(d)和。1、切平面的定义可以看出，切向量与共面，但过(u0,v0)点有无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数方向，且有命题2：曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标曲线的切向量所确定的平面上。这个平面我们称作曲面在该点的切平面。3、切平面的方程设面上一点为P0(u0,v0)，R(X,Y,Z)为平面上任一点，
7、则有或写成坐标表示式如果用显函数z=z(x,y)表示曲面时，有三、法方向与法线1、定义：曲面在正常点处垂直于切平面的方向称为曲面的法方向，过该点平行于法方向的直线称作曲面在该点的法线。由定义，曲面的法方向为单位法向量为2、法线的方程设曲面上任一点r(u,v)的径矢为R(u,v)则法线的方程为用坐标表示为若用z=z(x,y)表示曲面，则有四、参数变换如果曲纹坐标(u,v)变为新的曲纹坐标：则得到曲面关于新曲纹坐标的方程对求导：因此（1），则两个法向量平行。（2），所有参数法向量的正向保持不变，称这个方向为曲面的正向。（3）交换参数，则正
8、向改变为负向，曲面为双侧。1、3曲面上的曲线簇和曲线网设光滑曲面上的曲线为(c)：u=u(t),v=v(t),或者r=r[u(t),v(t)]=r(t),消去t，可得曲面上曲线的方程为1、一阶线性微分方程表示曲面上的一簇
