方差分析与正交试验设计

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1、1第八章方差分析与正交试验设计单因素方差分析双因素方差分析正交试验设计2在科学试验和生产实际中，影响一事物的因素往往很多.例如，在药品生产中，有原料成分、原料比例、温度、时间、机器设备、操作人员水平等许多因素，每一个因素的改变都可能影响产品的质量和数量.在众多影响因素中，有的影响较大，有的影响较小.因此，常常需要分析哪几种因素对产品质量和产量有显著影响.为了解决这类问题，一般需要做两步工作.引言3第一步是设计一个试验，使得这个试验一方面能很好地反映我们所感兴趣的因素的作用，另一方面试验的次数要尽可能地少，尽可能地节约人力、物力和时间.其次是如何充分地利用试

2、验结果的信息，对我们所关心的事物（因素的影响）作出合理地推断.；前者通常称为试验设计，后者最常用的统计方法就是方差分析..化工产品的数量和质量反应温度压力原料成分原料剂量溶液浓度操作水平反应时间机器设备§1单因素方差分析5方差分析按影响试验指标的因素个数进行分类，可分为:单因素方差分析双因素方差分析多因素方差分析1实例例1灯丝的配料方案选优某灯泡厂用四种不同配料方案制成的灯丝生产了四批灯泡，在每批灯泡中随机地抽取若干个测得其使用寿命（单位：小时），所得数据如表8—1.试问：这四批灯丝生产的灯泡，其使用寿命有无显著差异？.一数学模型表8－1灯泡使用寿命数据表

3、在这个例子里，灯泡使用寿命称为试验结果或试验指标，试验中，除灯丝外其它条件相同，灯丝的配料方案本身称为因素，四种配料方案称为四个水平，因此本例称为一个因素四个水平的试验.2基本概念方差分析——根据试验的结果进行分析,鉴别各个有关因素对试验结果的影响程度.试验指标——试验中要考察的指标.因　　素——影响试验指标的条件.因素可控因素不可控因素水　　平——因素所处的状态.单因素试验——在一项试验中只有一个因素改变.多因素试验——在一项试验中有多个因素在改变.在每一个水平下进行独立试验,结果是一个随机变量,将数据看成是来自四个总体的样本值.例1问题分析倘若使用寿命

4、无显著差异，我们就可以从中选一种既经济又方便的配料方案；如果有显著差异，则希望选一种较优的配料方案，以便提高灯泡的使用寿命.检验假设进一步假设各总体均为正态变量,且各总体的方差相等,但参数均未知.问　　题——检验同方差的多个正态总体均值是否相等.解决方法——方差分析法,一种统计方法.例2设有三台机器,用来生产规格相同的铝合金薄板.取样,测量薄板的厚度精确至千分之一厘米.得结果如下表所示.铝合金板的厚度机器Ⅰ机器Ⅱ机器Ⅲ0.2360.2380.2480.2450.2430.2570.2530.2550.2540.2610.2580.2640.2590.267

5、0.262试验指标:薄板的厚度因素:机器水平:不同的三台机器是因素的三个不同的水平假定除机器这一因素外,其他条件相同,属于单因素试验.试验目的:考察各台机器所生产的薄板的厚度有无显著的差异.即考察机器这一因素对厚度有无显著的影响.例3下表列出了随机选取的、用于计算器的四种类型的电路的响应时间（以毫秒计）.表电路的响应时间类型Ⅰ类型Ⅱ类型Ⅲ191522201820402133271617151826类型Ⅳ182219试验指标:电路的响应时间因素:电路类型水平:四种电路类型为因素的四个不同的水平单因素试验试验目的:考察电路类型这一因素对响应时间有无显著的影响.

6、例4一火箭用四种燃料,三种推进器作射程试验.每种燃料与每种推进器的组合各发射火箭两次,得射程如下（以海里计）.表火箭的射程推进器(B)B1B2B3燃料(A)A1A2A3A458.252.649.142.860.158.375.871.556.241.254.150.570.973.258.251.065.360.851.648.439.240.748.741.4试验指标:射程因素:推进器和燃料水平:推进器有3个,燃料有4个双因素试验试验目的:考察推进器和燃料两因素对射程有无显著的影响.数学模型表9.4观察结果水平样本总和样本均值总体均值假设单因素试验方差分

7、析的数学模型需要解决的问题1.检验假设数学模型的等价形式总平均原数学模型改写为检验假设等价于检验假设二统计分析1假设检验下面我们来构造检验假设用的统计量.首先分析一下各个为什么不相等？即引起波动（差异）的原因是什么？这里有两个原因：其一，当假设成立时，有，各个的波动完全由重复试验中的随机误差引起.其二，当假设不成时,，各个的数学期望不同，当然取值也不会一致.因此，我们想用一个量来刻划各个之间的波动程度，并且把引起波动的两个原因区分开来，这就是方差分析的总偏差平方和分解方法，并由此构造检验用的统计量.—数据的总平均—总偏差平方和（总变差）平方和的分解证明:定

8、理一(平方和分解定理）在单因素方差分析模型中，平方和有如下的恒等式