模糊控制的数学基础

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1、第二章模糊控制的数学基础2.1概述模糊数学(模糊集）是模糊控制的数学基础，它是由美国加利福尼亚大学Zadeh教授最先提出的。他将模糊性和集合论统一起来，在不放弃集合的数学严格性的同时，使其吸取人脑思维中对于模糊现象认识和推理的优点。“模糊”，是指客观事物彼此间的差异在中间过渡时，界限不明显，呈现出的“亦此亦彼”性。“模糊”是相对于“精确”而言的。“精确”：“老师”、“学生”、“工人”“模糊”：“高个子”、“热天气”、“年轻人”模糊数学并不是让数学变成模模糊糊的东西，而是用数学工具对模糊现象进行描述和分析。模糊数学是对经典数学的扩展，

2、它在经典集合理论的基础上引入了“隶属函数”的概念，来描述事物对模糊概念的从属程度。2.2普通集合*集合具有特定属性的对象的全体，称为集合。例如：“湖南大学的学生”可以作为一个集合。集合通常用大写字母A，B，……，Z来表示。*元素组成集合的各个对象，称为元素，也称为个体。通常用小写字母a，b，……，z来表示。*论域所研究的全部对象的总和，叫做论域，也叫全集合。*空集不包含任何元素的集合，称为空集，记做Φ。*子集集合中的一部分元素组成的集合，称为集合的子集。1）集合的概念若元素a是集合A的元素，则称元素a属于集合A，记为a∈A；反之，称

3、a不属于集合A，记做。*属于*包含若集合A是集合B的子集，则称集合A包含于集合B，记为；或者集合B包含集合A，记为。对于两个集合A和B，如果和同时成立，则称A和B相等，记做A=B。此时A和B有相同的元素，互为子集。*相等*有限集如果一个集合包含的元素为有限个，就叫做有限集；否则，叫做无限集。2）集合的表示法将集合中的所有元素都列在大括号中表示出来，该方法只能用于有限集的表示。例如10-20之间的偶数组成集合A，则A可表示为A={10，12，14，16，18，20}*表征法表征法将集合中所有元素的共同特征列在大括号中表征出来。上例中的

4、集合A也可用表征法表示为A={a

5、a为偶数，10≤a≤20}2.2普通集合*列举法*集合交设X，Y为两个集合，由既属于X又属于Y的元素组成的集合P称为X，Y的交集，记作P=X∩Y*集合并设X，Y为两个集合，由属于X或者属于Y的元素组成的集合Q称为X，Y的并集，记作Q=X∪Y*集合补在论域Y上有集合X，则X的补集为3）集合的运算2.2普通集合具体算法是：在X，Y中各取一个元素组成序偶（x，y），所有序偶组成的集合，就是X，Y的直积。*集合的直积设X，Y为两集合，定义X，Y的直积为4）集合的特征函数设x为论域X中的元素，A为论域X中定义

6、的一个集合，则x和A的关系可以用集合A的特征函数来表示。它的值域是{0，1}，它表示元素x是否属于集合A。如果x属于集合A，那么的值为1；如果x不属于集合A，那么的值为0。即2.2普通集合(1)模糊集合的定义：2.3模糊集合例2.3.1论域为15到35岁之间的人，模糊集表示“年轻人”，则模糊集的隶属函数可定义为则年龄为30岁的人属于“年轻人”的程度为：给定论域E中的一个模糊集，是指任意元素x∈E，都不同程度地属于这个集合，元素属于这个集合的程度可以用隶属函数∈[0，1]来表示。(2)模糊集合的表示法：1）Zadeh表示法当论域上的元

7、素为有限个时，定义在该论域上的模糊集可表示为：注意：式中的“＋”和“/”，仅仅是分隔符号，并不代表“加”和“除”。例2.3.2假设论域为5个人的身高，分别为172cm、165cm、175cm、180cm、178cm，他们的身高对于“高个子”的模糊概念的隶属度分别为0.8、0.78、0.85、0.90、0.88。则模糊集“高个子”可以表示为高个子2.3模糊集合2）序偶表示法当论域上的元素为有限个时，定义在该论域上的模糊集还可用序偶的形式表示为：或简化为：对于上例的模糊集“高个子”可以用序偶法表示为高个子或高个子2.3模糊集合3）隶属函

8、数描述法论域U上的模糊子集可以完全由其隶属函数表示。假设年龄的论域为U=[15，35]，则模糊集“年轻”可用隶属函数表征为：该隶属函数的形状如图2.3模糊集合（3)模糊集合的运算模糊集合与普通集合一样也有交、并、补的运算。假设和为论域U上的两个模糊集，它们的隶属函数分别为和模糊集交模糊集并模糊集补相等若，总有成立，则称和相等，记作。包含若，总有成立，则称包含，记作。2.3模糊集合例2.3.3：设论域U={a,b,c,d,e}上有两个模糊集分别为：求2.3模糊集合（4）模糊运算的性质：交换率，结合率，分配率传递率，，则，幂等率摩根率，

9、复原率2.3模糊集合2.4λ水平截集水平截集的定义在论域U中，给定一个模糊集合A，由对于A的隶属度大于某一水平值λ（阈值）的元素组成的集合，叫做该模糊集合的λ水平截集。用公式可以描述如下：其中x∈U，λ∈[0,1]。显然，Aλ是一个普