泰勒展开式与洛朗展开式

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1、泰勒级数泰勒(Taylor)级数洛朗级数洛朗(Laurent)级数张红英张红英1.问题的引入§4.3泰勒(Taylor)级数2.泰勒级数展开定理3.简单初等函数的泰勒展开式4.小结一个幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数。1.问题的引入问题:任一个解析函数能否用幂级数来表达？.内任意点如图:.K.幂级数性质回顾：定理（泰勒级数展开定理）2.泰勒(Taylor)级数展开定理Dk代入(1)分析：Dkz联合(I),(II)(*)式证明：注：(2)展开式的唯一性分析：设f(z)用另外的方法展开为幂级数:直接法间接法：由展开式的唯一性，运用级数的代

2、数运算、分析运算和已知函数的展开式来展开函数展开成Taylor级数的方法：3.简单初等函数的泰勒展开式例1解：直接法间接法例2把下列函数展开成z的幂级数:解：(2)由幂级数逐项求导性质得：注:通过奇点判断收敛范围。4.小结：F(z)在z0点解析1.引入§4.4罗朗(Laurent)级数2.双边幂级数3.Laurent级数展开定理4.函数的Laurent级数展开式5小结回顾：f(z)在z0解析思考：若f(z)在z0点不解析，但在圆环域:R1<z-z0

3、内展开成z-z0的幂级数。例：由此推想，若f(z)在R1<z-z0

4、应用中，经常遇到f(z)在奇点z0的去心邻域内解析，需要把f(z)展成洛朗（Laurent）级数来展开。级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。(3)展开式的唯一性一个在某一圆环域内解析的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f(z)的洛朗级数。分析：Dz0R1R2cDz0R1R2c由唯一性，将函数展开成Laurent级数，主要用间接法。例1解4函数的Laurent级数展开式例2解例3解例4xyo12xyo12xyo12解:无奇点注意首项解(1)在(最大的)去心邻域例5yxo12(2)在(最大的)去心邻

5、域xo12练习：(1)Laurent级数与Taylor级数的不同点：Taylor级数先展开求收敛半径R,找出收敛域。Laurent级数先求f(z)的奇点，然后以z0为中心奇点为分隔点，找出z0到无穷远点的所有使f(z)解析的环域，在环域上展成级数。5小结(3)根据区域判别级数方式：在圆域内需要把f(z)展成泰勒(Taylor)级数，在环域内需要把f(z)展成洛朗(Laurent)级数。(1)对于无理函数及其它初等函数的洛朗展开式，可以利用已知基本初等函数的泰勒展开式，经过代换、逐次求导、逐次积分等计算获得。(4)把f(z)展成洛朗级数的方法：(2

6、)对于有理函数的洛朗展开式，首先把有理函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式。ENDING,THANKS