概率论与数理统计教程(茆诗松)第3章

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1、§3.1多维随机变量及其联合分布§3.2边际分布与随机变量的独立性§3.3多维随机变量函数的分布§3.4多维随机变量的特征数§3.5条件分布与条件期望第三章多维随机变量及其分布分布的可加性若同一类分布的独立随机变量和的分布仍是此类分布，则称此类分布具有可加性.二项分布的可加性若Xb(n1,p)，Yb(n2,p)，注意：若Xib(1,p)，且独立，则Z=X1+X2+……+Xnb(n,p).且独立，则Z=X+Yb(n1+n2,p).正态分布的可加性若XN()，YN()，注意：XY不服从N().且独立，则Z=XYN().XYN().独立正态变量的线

2、性组合仍为正态变量.(见下)独立正态变量的线性组合仍为正态变量Xi~N(i,i2),i=1,2,...n.且Xi间相互独立,实数a1,a2,...,an不全为零,则2分布的可加性若X2(n1)，Y2(n2)，注意：(1)XY不服从2分布.且独立，则Z=X+Y2(n1+n2).(2)若XiN(0,1)，且独立，则Z=2(n).3.4.2数学期望与方差的运算性质1.E(X+Y)=E(X)+E(Y)2.当X与Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y),(性质3.4.1)(性质3.4.2)讨论X+Y的方差1.Var(XY)=Var(X)+Var(Y

3、)2E[XE(X)][YE(Y)]3.当X与Y独立时，E[XE(X)][YE(Y)]=0.4.当X与Y独立时，Var(XY)=Var(X)+Var(Y).2.E[XE(X)][YE(Y)]=E(XY)E(X)E(Y)注意：以上命题反之不成立.3.4.3协方差定义3.4.1称Cov(X,Y)=E[XE(X)][YE(Y)]为X与Y的协方差.协方差的性质(4)Cov(X,Y)=Cov(Y,X).(性质3.4.7)(1)Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y).(性质3.4.4)(2)若X与Y独立，则Cov(X,Y)=0.(性质3.4.5)(6

4、)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y).(性质3.4.9)(3)Var(XY)=Var(X)+Var(Y)2Cov(X,Y)(性质3.4.6)(5)Cov(X,a)=0.(性质3.4.8)(7)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z).(性质3.4.10)3.4.4相关系数定义3.4.2称Corr(X,Y)=为X与Y的相关系数.相关系数的性质(2)(2)1Corr(X,Y)1.(3)Corr(X,Y)=1X与Y几乎处处有线性关系。(性质3.4.11)(性质3.4.12)P(Y=aX+b)=1