排队论及相关程序

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1、排队论排队论又称随机服务系统，它应用于一切服务系统，包括生产管理系统、通信系统、交通系统、计算机存储系统。它通过建立一些数学模型，以对随机发生的需求提供服务的系统预测。现实生活中如排队买票、病人排队就诊、轮船进港、高速路上汽车通过收费站、机器等待修理等等。一、排队论的基本构成（1）输入过程输入过程是描述顾客是按照怎样的规律到达排队系统的。包括：①顾客总体：顾客的来源是有限的还是无限的。②到达的类型：顾客到达是单个到达还是成批到达。③相继顾客到达的时间间隔：通常假定是相互独立同分布，有的是等间隔到达，有的是服从负指数分布，有的是服从k阶Erlang分布

2、。（2）排队规则排队规则指顾客按怎样的规定的次序接受服务。常见的有等待制，损失制，混合制，闭合制。当一个顾客到达时所有服务台都不空闲，则此顾客排队等待直到得到服务后才离开，称为等待制。在等待制中，可以采用先到先服务，如排队买票；也有后到先服务，如天气预报；也有随机服务，如电话服务；也有有优先权的服务，如危重病人可优先看病。当一个顾客到来时，所有服务台都不空闲，则该顾客立即离开不等待，称为损失制。顾客排队等候的人数是有限长的，称为混合制度。当顾客对象和服务对象相同且固定时是闭合制。如几名维修工人固定维修某个工厂的机器就属于闭合制。(3)服务机构服务机构

3、主要包括：服务台的数量；服务时间服从的分布，常见的有定长分布、负指数分布、几何分布等。二、排队系统的数量指标(1)队长与等待队长队长（通常记为）是指系统中的平均顾客数（包括正在接受服务的顾客）。等待队长（通常记为）指系统中处于等待的顾客的数量。显然，队长等于等待队长加上正在服务的顾客数。(2)等待时间顾客的平均逗留时间（通常记为）是指顾客进入系统到离开系统这段时间，包括等待时间和接受服务的时间。顾客的平均等待时间（通常记为）是指顾客进入系统到接受服务这段时间。(3)忙期从顾客到达空闲的系统，服务立即开始，直到再次变为空闲，这段时间是系统连续繁忙的时期

4、，称之为系统的忙期。它反映了系统中服务机构工作强度，是衡量服务系统利用效率的指标，即：服务强度=忙期/服务总时间=1─闲期/服务总时间闲期与忙期对应的系统的空闲时间，也就是系统连续保持空闲的时间长度。三、排队论中的符号表示排队论中的记号是20世纪50年代初由D.G.Kendall引入的，通常由3~5个字母组成，形式为：A/B/C/n其中A表示输入过程，B代表服务时间，C代表服务台数量，n表示系统空间数。M-负指数分布;D-确定型;Ek-k阶埃尔朗分布；GI-一般相互独立分布；G-一般随机分布等。如：(1)M/M/S/∞表示输入过程是Poisson流，

5、即，服务时间服从负指数分布，即；系统有S个服务台平行服务，系统容量为无穷大的等待制排队系统。(2)M/G/S/∞表示输入过程是Poisson流，服务时间服从一般概率分布，系统有S个服务台平行服务，系统容量为无穷大的等待制排队系统。（3）D/M/S/K表示顾客相继到达时间间隔独立、服从定长分布，服务时间服从负指数分布，系统有S个服务台平行服务，系统容量为K个的混合制系统。(4)M/M/S/S表示输入过程是Poisson流，服务时间服从负指数分布，系统有S个服务台平行服务，顾客到达后不等待的损失制系统。（5）M/M/S/K/K表示输入过程是Poisson

6、流，服务时间服从负指数分布，系统有S个服务台平行服务，系统容量和顾客容量都为K个的闭合制系统。四、排队系统的主要数量指标研究排队系统的目的是通过了解系统运行的状况，对系统进行调整和控制，使系统处于最优运行状态。因此，首先需要弄清系统的运行状况。描述一个排队系统运行状况的主要数量指标有：1.Pn：系统中恰好有n个顾客的概率，这n个顾客包括排队和正在被服务的顾客；在系统里没有顾客的概率，即所有服务设施空闲的概率，记为P0。2.Pw顾客到达系统时，得不到及时服务，必须排队等待服务的概率。3.Ls在系统里的平均顾客数，包括排队的顾客数和正在被服务的顾客数。4

7、.Lq排队的平均长度，即排队的平均顾客数。5.Wq平均一位顾客花在排队上的时间。6.Ws平均一位顾客在系统里的平均逗留时间,它包括排队时间和被服务的时间。7.Little公式，L=λW。λ为单位时间内到达的顾客数。四、生灭过程及生灭过程排队系统1.生灭过程生灭过程是一类非常简单具有广泛应用的一类随机过程，很多排队模型中都假设其状态过程为生灭过程；这样的排队子系统如：M/M/C和M/M/C/R，我们也可称之为生灭过程的排队系统。在这样的排队系统中，一个新顾客的到达看作“生”，一个顾客服务完之后离开系统看作是“灭”，设N(t)的任意时刻t排队系统的状态（

8、即排队子系统中的总顾客数），则对M/M/C/K系统N(t)具有有限个状态0,1,…,k,对M/M/C来说N(