函数的奇偶性学习指要

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1、函数的奇偶性学习指要江苏省泰州市第三高级中学周淦利函数的奇偶性是函数的重要性质，也是高考命题的热点内容之一．要真正学好这部分内容，必须做到以下两点：1．深入了解奇偶性的含义：（１）定义中要求“对于定义域内任意一个的值，都有或成立”，可见自变量的取值要有任意性，也就是说，定义中的等式或是定义域上的恒等式，而不是对部分的值成立．（２）由定义知，若是定义域中的一个数值，则也必然在定义域中，因此，函数是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是其定义域关于原点对称．换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数必不具有奇偶性（非奇非偶函数），例如函数在区间上是偶函数，但在区间上

2、就无奇偶性可言了．（３）根据定义我们还容易知道，函数的奇偶性是针对整个定义域而言的，它是函数的整体性质．而之前我们学习的单调性，它却是针对定义域的某个子区间而言的，是函数的局部性质．2．切实掌握具有奇偶性的函数图像特点：奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于轴对称，反之亦然．题型一判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：（１）（２）解：（１）因为函数的定义域为，故可去除绝对值符号，将函数表达式化简为．又对于任意，有，所以该函数为奇函数．（２）函数的定义域为，对于任意，显然，所以函数为偶函数，但当时，有，所以函数既是奇函数，又是偶函数．故本题的结果应是：当时，函数为

3、偶函数；当时，函数既是奇函数，又是偶函数．点评：（１）判断函数的奇偶性，通常都是从定义出发．一般可分为两步：第一步，确定函数的定义域，看它是否关于原点对称，若不对称，则既不是奇函数，也不是偶函数．第二步，若定义域关于原点对称，再判断与的关系：时为奇函数；时为偶函数；且同时成立时既是奇函数，又是偶函数．（２）判断函数的奇偶性，有时还可以从图像出发：若函数的图像容易画出，可以从图像是否关于原点或轴对称，直观地对奇偶性作出判断．题型二　证明函数的奇偶性例２　试证明函数为奇函数．证明：当时，则，所以；当时，则，所以．综上可知，对于定义域内的任意的值，都有，所以题设函数为奇函数．

4、点评：（１）要证明一个函数的奇偶性，必须紧紧扣住定义进行；（２）对于分段函数的奇偶性证明，应对的值进行分段讨论，寻求与在各段上的关系；（３）奇偶性是函数的整体性质，不能说函数在定义域内的某一个区间上是奇函数或偶函数．例如本题在证得时有后，千万不可说时是奇函数，同样在证得时有后，一样不能说时是奇函数．题型三　利用奇偶性求函数解析式例３　设函数是定义在上的奇函数，且当时，，试求函数的解析式．解：设，则，所以，又是奇函数，所以，可得．当时，因为，故．综上，．点评：（１）要求的表达式，由于已知时的解析式，因此还要根据条件求出时的解析式，而的定义域是，故还要求出的值，这些都要利用

5、奇函数的性质来完成．（２）容易看出，奇函数若在处有定义，则必有，这是奇函数的一个很重要的性质．题型四　利用奇偶性求解析式中参数的值例４　若函数是偶函数，求实数的值．解：（法一）因为函数为偶函数，所以恒成立（），即对于任意实数恒成立，因此，由此可得．（法二）因为函数是偶函数，且，则有，由此可得，所以或．检验知，时不合题意，而时恒有成立，故．点评：这类问题的解法通常有两种方法：一是利用（或）对于定义域内的任意恒成立求解；另一则是通过在定义域内“赋值”求解．但值得注意的是后一种解法必须检验．（想一想为什么？）题型五　利用奇偶性求函数值例５　已知函数的图像关于原点对称，且对于任

6、意，都有，又当时，，试求的值．解：因为，所以，于是．又时，，所以．而的图像关于原点对称等价于是奇函数，所以．点评：已知函数在某区间上的解析式，求的值时，若不在已知区间上，则应充分利用已知条件以及函数的奇偶性等，将的值转化为的值（其中在已知区间上），便可获解．题型六　奇偶性与单调性的综合应用例６　已知定义在上的奇函数，在其定义域上为减函数，且，求实数的取值范围．解：由得，而是奇函数，则，所以．又是定义域上的减函数，所以，可得实数的取值范围为．点评：本题属于“解抽象不等式”，这类问题呈现的形式多种多样，但其解法几乎“千篇一律”，都是充分利用已知条件，将看似复杂的“抽象不等式

7、”转化为两个函数值的大小关系，然后利用函数的单调性转化为两个自变量的大小关系，从而使问题得以解决．（本文发表在2013年第9期《中学课程辅导（高一）》期刊上）