边缘分布与条件分布

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1、第二节边缘分布边缘分布函数离散型随机变量的边缘分布律连续型随机变量的边缘概率密度课堂练习二维联合分布全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律.而单个随机变量X,Y也具有自己的概率分布.那么要问:二者之间有什么关系呢?二维随机变量(X,Y)作为一个整体,具有分布函数而和都是随机变量,也有各自的分布函数,变量(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数.依次称为二维随机一、边缘分布函数分别记为关系式:记住：一般地，对二维离散型随机变量(X,Y)，(X,Y)关于X的边缘分布律（即X的分布律）为:X和Y的联合分布律为：二、二维离散型随机变量(X,Y)的边缘分布律(X,Y)关于Y的边缘分布律（即

2、Y的分布律）为:二维离散型随机变量关于X和Y的边缘分布函数分别为:我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词.例1已知下列分布律求其边缘分布律.解注意联合分布边缘分布例2已知下列分布律求其边缘分布律.例3设随机变量且满足P{X1X2=0}=1，求（1）(X1,X2)的联合概率分布；（2）P{X1

3、密度函数是分片表示的时候，应特别注意所求边缘密度应如何分段以及积分限应如何选取.上的均匀分布，例4设(X,Y)服从求X及Y边缘概率密度。解（X，Y）的概率密度为先计算注二维均匀分布的边缘分布也为均匀分布。例5试求二维正态随机变量的边缘概率密度.解因为所以则有同理注二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,并且不依赖于参数.由边缘分布一般不能确定联合分布.也就是说,对于给定的不同的对应不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的.此例表明例5试求二维正态随机变量的边缘概率密度.四、课堂练习设(X,Y)的概率密度是求(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度.解暂时固定当时,当时,故暂时固定暂

4、时固定暂时固定当时,当时,故第三节条件分布离散型随机变量的条件分布连续型随机变量的条件分布课堂练习在第一章中，我们介绍了条件概率的概念.在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率推广到随机变量设有两个随机变量X,Y，在给定Y取某个或某些值的条件下，求X的概率分布.这种分布就是条件分布.例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以X和Y表示其体重和身高.则X和Y都是随机变量，它们都有一定的概率分布.体重X身高Y体重X的分布身高Y的分布现在若限制1.7

5、挑出的学生中求其体重的分布.容易想象，这个分布与不加这个条件时的分布会不一样.例如，在条件分布中体重取大值的概率会显著增加.一、二维离散型随机变量的条件分布实际上是第一章讲过的条件概率概念在另一种形式下的重复.定义1设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，若P{Y=yj}>0，则称为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律.P{X=xi

6、Y=yj}=，i=1,2,…作为条件的那个随机变量,认为取值是给定的，在此条件下求另一随机变量的概率分布.类似地可定义在X=xi条件下随机变量Y的条件分布律.P{Y=yj

7、X=xi}=j=1,2,…对于固定的i,当P{X=xi}>0时，称为在X=x

8、i条件下随机变量Y的条件分布律.P{X=xi

9、Y=yj}，i=1,2,…P{Y=yj

10、X=xi}，j=1,2,…条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质.正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质一样.例如：i=1,2,…例1解由上述分布律的表格可得二、二维连续型随机变量的条件分布设(X,Y)是二维连续型随机变量，由于对任意x,y,P{X=x}=0,P{Y=y}=0，所以不能象离散的一样直接用条件概率公式定义条件分布，要用到极限的方法，下面我们直接给出条件概率密度的计算公式.则称为在的条件下的条件概率密度.若对于固定的,设X和Y的联合概率密度为关于的边缘概率密度为,记为称为在的条

11、件下,的条件分布函数.记为定义2即类似地,可以定义在的条件下Y的条件概率密度以及条件分布函数例2设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率密度为求解X的边缘密度为由于当

12、x

13、≥1时,只有当

14、x

15、<1时,才有故只有当x取（-1,1）中的固定值时，才有即当

16、x

17、<1时,有X的取值x已知，即x是固定常数这里是y的取值范围X已知的条件下Y的条件密度注二维均匀分布的条件分布仍为均匀分布。注二维正态分布的条件分布仍为正态分布。三、课堂练习1.对于