重积分的计算及应用习题

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1、习题课一、二重积分计算二、三重积分计算二重积分的计算及应用第十章(1)7/15/20211一、二重积分计算的基本方法1.选择合适的坐标系使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序积分域分块要少,累次积分易算为妙.图示法列不等式法(从内到外:面、线、点)3.掌握确定积分限的方法——累次积分法7/15/20212典型例题例1解X-型:7/15/20213计算二重积分其中D为圆周所围成的闭区域.提示:利用极坐标原式P182题2(3)例27/15/20214例3

2、.计算积分其中D由所围成.提示:如图所示连续,所以7/15/20215二重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1.交换积分顺序的方法2.利用对称性简化计算3.消去被积函数绝对值符号7/15/20216例4解7/15/20217例5解7/15/202187/15/20219证明:提示:左端积分区域如图,交换积分顺序即可证得.P182题4练习题7/15/202110P182题1（3）练习题提示:交换积分顺序B7/15/202111例6解先去掉绝对值符号，如图7/15/202112使用对称性时应注意1.

3、积分区域关于坐标轴的对称性.2.被积函数在积分区域上关于两个坐标变量的奇偶性.只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配时,才能简化.利用对称性简化二重积分的计算7/15/202113二重积分计算的简化7/15/2021147/15/2021157/15/202116例7计算二重积分其中:(1)D为圆域(2)D由直线解(1)利用对称性.围成.7/15/202117(2)积分域如图:将D分为添加辅助线利用对称性,得7/15/202118例8计算二重积分在第一象限部分.其中D为圆域提示:两部分作辅助线将D分

4、成说明:若不利用对称性，需分块积分以去掉绝对值符号.7/15/202119P182题1（2）练习题A7/15/202120P182题6练习题7/15/2021217/15/202122二、三重积分计算的基本方法1.选择合适的坐标系使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2.选择易计算的积分序积分域分块要少,累次积分易算为妙.图示法列不等式法(从内到外:面、线、点)3.掌握确定积分限的方法——累次积分法7/15/202123把积分化为三次积分,其中由曲面提示:积分域为原式及

5、平面所围成的闭区域.P183题7练习题7/15/202124计算三重积分其中是由xoy平面上曲线所围成的闭区域.提示:利用柱坐标原式绕x轴旋转而成的曲面与平面P183题8(3)7/15/202125三重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1.交换积分顺序的方法2.利用对称性简化计算3.消去被积函数绝对值符号1.积分区域关于坐标面的对称性.2.被积函数在积分区域上关于三个坐标变量的奇偶性.只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配时,才能简化.利用对称性简化三重积分的计算：7/15/202126其它情

6、形依此类推.三重积分计算的简化7/15/202127P182题1(1)设有空间闭区域则有（）7/15/202128例1解典型例题7/15/202129例2解利用球面坐标7/15/202130利用“先二后一”计算.例3试计算椭球体的体积V.解7/15/202131