阶常系数非齐次线性(II)

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1、第九节常系数非齐次线性微分方程一、二、——二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解结构常见类型难点：如何求特解？方法：待定系数法.自由项为一、为实数,设特解为其中为待定多项式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为为m次多项式.Q(x)为m次待定系数多项式(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为(3)若是特征方程的重根,是m次多项式,故特解形式为小结对方程①,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.即即当是特征方程的k重根时,可设特解例1解特征方程特征根对应齐次方程通解代入方程,得原

2、方程通解为例2.的一个特解.解:本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为求通解特征方程特征根齐通解即代入（*）式非齐通解为例3.解例4.求解定解问题解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得于是所求解为解得思考写出微分方程的待定特解的形式.解答设的特解为设的特解为则所求特解为特征根（重根）二、第二步求出如下两个方程的特解分析思路:第一步将f(x)转化为第三步利用叠加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特点第一步利用欧拉公式将

3、f(x)变形第二步求如下两方程的特解是特征方程的k重根(k=0,1),故等式两边取共轭:为方程③的特解.②③设则②有特解:第三步求原方程的特解利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:原方程均为m次多项式.第四步分析因均为m次实多项式.本质上为实函数,待定待定解例5f(x)=ex[Pm1(x)cosx+Pm2(x)sinx]型所求通解：解例6原方程特解解例7原方程通解待定待定f(x)=ex[Pm1(x)cosx+Pm2(x)sinx]型注:对非齐次方程则可设特解:其中为特征方程的k重根(k=0,1),上述结论

4、也可推广到高阶方程的情形.练习时可设特解为时可设特解为1.设2.求微分方程的通解(其中为实数).3.已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解.4.求通解练习时可设特解为时可设特解为提示:1.(填空)设2.求微分方程的通解(其中为实数).解:特征方程特征根:对应齐次方程通解:时,代入原方程得故原方程通解为时,代入原方程得故原方程通解为3.已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解.解:将特解代入方程得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:原方程通解为4.求通解解相应齐方程特征方程齐通解先求的特解设代入方程再求的特解原方程特解

5、原方程的特解所求通解为P3171(1),(5),(6),(10);2(2),(4);3;6