阶常系数齐次微分方程

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1、主要内容：第六章微分方程第五节二阶常系数齐次微分方程一、二阶线性微分方程举例;二、二阶线性微分方程的解的结构;三、二阶常系数齐次线性微分方程.1一、二阶线性微分方程举例二阶线性微分方程二阶线性微分方程的一般形式为yP(x)yQ(x)yf(x)若方程右端f(x)0时方程称为齐次的否则称为非齐次的例1设弹簧的弹性系数为c,物体受到的阻力的大小与运动速度成正比,比例系数为m.则有自由振动的微分方程2一、二阶线性微分方程举例二阶线性微分方程二阶线性微分方程的一般形式为yP(x)yQ(x)yf(x)若方程右端f(x)0时方程称为齐次的否则称

2、为非齐次的例1设弹簧的弹性系数为c,物体受到的阻力的大小与运动速度成正比,比例系数为m.强迫振动的微分方程如果振动物体还受到铅直干扰力F=Hsinpt的作用,则有3例2设有一个由电阻R、自感L、电容C和电源E串联组成的电路,其中R、L、及C为常数,电源电动势是时间t的函数:EEmsinwt,这里Em及w也是常数.设电路中的电流为i(t),电容器极板上的电量为q(t),两极板间的电压为uc,自感电动势为EL.由电学知道根据回路电压定律,得4设电路中的电流为i(t),电容器极板上的电量为q(t),两极板间的电压为uc,自感电动势为EL.根据回路电压定律,得这就是串联电路的

3、振荡方程.如果电容器经充电后撤去外电源(E0),则上述成为例2设有一个由电阻R、自感L、电容C和电源E串联组成的电路,其中R、L、及C为常数,电源电动势是时间t的函数:EEmsinwt,这里Em及w也是常数.由电学知道5共振现象当pk时,方程通解为当p=k时,方程通解为无阻尼强迫振动方程当干扰力的角频率p等于振动系统的固有频率k时,齐次通解自由振动非齐次特解强迫振动强迫振动的振幅随时间t的增大而无限增大.6二、二阶线性微分方程的解的结构简要证明这是因为定理1(齐次方程的解的叠加原理)如果函数y1(x)与y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的两个解那

4、么yC1y1(x)C2y2(x)也是方程的解其中C1、C2是任意常数(C1y1C2y2)P(x)(C1y1C2y2)Q(x)(C1y1C2y2)C1[y1P(x)y1Q(x)y1]C2[y2P(x)y2Q(x)y2]000(C1y1C2y2)P(x)(C1y1C2y2)Q(x)(C1y1C2y2)7定理2(齐次方程的通解的结构)常数变易法设函数y1(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的一个解设yu(x)y1(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的解,则如果函数y1(

5、x)与y2(x)是方程y+P(x)y+Q(x)y=0的两个线性无关的解那么y=C1y1(x)+C2y2(x)是方程的通解其中C1、C2是任意常数注:函数y1(x)与y2(x)线性无关,是指8举例已知cosx与sinx都是方程y+y=0的解因为比值cosx/sinx=cotx不恒为零所以cosx与sinx在()内是线性无关的因此cosx与sinx是方程y+y=0的线性无关解方程的通解为y=C1cosxC2sinx举例已知y1=x与y2=ex都是方程(x-1)y-xy+y=0的解因为比值ex/x不恒为常数所以y1=x与y

6、2=ex在()内是线性无关的因此y1=x与y2=ex是方程(x-1)y-xy+y=0的线性无关解方程的通解为y=C1xC2ex定理2(齐次方程的通解的结构)如果函数y1(x)与y2(x)是方程y+P(x)y+Q(x)y=0的两个线性无关的解那么y=C1y1(x)+C2y2(x)是方程的通解其中C1、C2是任意常数注:函数y1(x)与y2(x)线性无关,是指9举例已知Y=C1cosx+C2sinx是齐次方程y+y=0的通解y*=x2-2是非齐次方程y+y=x2的一个特解因此y=C1cosx+C2sinx+x2-2是非齐次方程

7、y+y=x2的通解定理3(非齐次方程的通解的结构)设y*(x)是方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解Y(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的通解那么yY(x)y*(x)是方程yP(x)yQ(x)yf(x)的通解10定理4(非齐次方程的解的叠加原理)简要证明这是因为[y1*+y2*]P(x)[y1*+y2*]Q(x)[y1*+y2*]=[y1*P(x)y1*Q(x)y1*][y2*P(x)y2*Q(x)y2*]=f1(x)f2(x)