隐函数的导数、参数式函数的导数

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1、第三节高阶导数高等数学Ⅰ13.间接法:常用高阶导数公式利用已知的高阶导数公式,通过四则运算,变量代换等方法,求出n阶导数.2例解3例解若直接求导,将是很复杂的,且不易找出规律,所以将式子恒等变形.4例解分析此函数是6次多项式,故不需将函数因式全乘出来.因为其中为x的6次多项式,故又是求6阶导数,5练习1.如何求下列函数的n阶导数?解:解:62.试从导出解：同样可求(见P103题4)7第四节隐函数的导数参数方程所确定的函数的导数高等数学Ⅰ（第二章）例求圆周在点处的切线方程解法一：由得（取正号）引例一、隐函数的导数9所以切线方程为即该解法需要解出一个变量

2、，确定一个函数（化隐函数为显函数），如果求解方程困难，此解法失效。如果不解出一个变量，而能求解，是一个不错的想法，下面给出隐函数求导方法。10解法二：方程两边关于求导解之得所以以下步骤同解法一（略）11一、隐函数的导数称形如为显函数。其特点是：方程左边是因变量，而右边则是含有自变量的一个表达式。而方程确定了一个y关于x函数同样称之为隐函数。定义:由方程所确定的函数y=y(x)，称之为隐函数。也确定了一个y关于x函数12问题:隐函数不易显化或不能显化时如何求导?有些隐函数可以显化，如方程有些则不能，如方程隐函数的显化隐函数求导法则用复合函数求导法则,并

3、注意到其中将方程两边对x求导.变量y是x的函数.13例解注意y=y(x)代入上式解得14隐函数的求导步骤：因为y是x的函数,所以是x的复合函数,15例解)23,23(22)23,23(xyxyy--=所求切线方程为显然通过原点.16例(1)解：方程两边对x求导，得(1)式两边对x求导，得将(2)式代入，得17例(2)解18作为隐函数求导法的一个简单应用,介绍(1)许多因子相乘除、乘方、开方的函数.对数求导法,它可以利用对数性质使某些函数的求导变得更为简单.适用于方法先在方程两边取对数,--------对数求导法然后利用隐函数的求导法求出导数.二、

4、对数求导法19例解等式两边取对数得隐函数20两边对x求导得等式两边取对数得)(ln)(xuxv.¢21例解等式两边取对数得22注复合函数改写成只要将幂指函数也可以利用对数性质化为:再求导,23有些显函数用对数求导法很方便.例如,两边取对数两边对x求导xb+24练习解答等式两边取对数25解答26三、由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?27由复合函数及反函数的求导法则得28？×29例解所求切线方程为分子分母不要颠倒30例解31例解用第二个方程用隐函数求导法求32四、小结隐函数求导法则:直接对方程两边求导;对数求导法:

5、对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则;33提示:1.求下列函数的n阶导数?思考与练习34已知任意阶可导,且时提示:则当2.填空题353.设求提示:分别用对数求导法求答案:364.设由方程确定,解:方程两边对x求导,得再求导,得②当时,故由①得再代入②得求①37