隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数(II)

《隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数(II)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第三节隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数三、相关变化率一、隐函数的导数定义：若由方程F(x,y)=0可确定y是x的函数,则称此函数为隐函数.由y=f(x)表示的函数称为显函数.隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.隐函数求导方法:两边对x求导(含导数y的方程)例1解解得例2解解得注意：隐函数的导数的表达式中一般同时含有变量x和y.例3解所求切线方程为显然通过原点.例4解二、对数求导法观察函数对数求导法:先在方程两边取对数,然后利用隐

2、函数的求导方法求出导数.适用范围:有些函数用对数求导法求导很方便.例1解等式两边取对数得例2解等式两边取对数得对幂指函数求导也可用对数求导法.解例3等式两边取对数得例4解等式两边取对数得三、由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数t问题:消参困难或无法消参如何求导?由复合函数及反函数的求导法则得例1解例2解故所求切线方程为解：思考：方程组两边同时对t求导,得,求设例3解四、相关变化率相关变化率问题:研究两个变化率之间的关系，以便已知其中一个变化率时求出另一个变化率.相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对t求导得相关变化率之间的关系式求出未

3、知的相关变化率解仰角增加率例1思考题:当气球升至500m时停住,有一观测者以100m／s的速率向气球出发点走来,当距离为500m时,仰角的增加率是多少?提示:对t求导已知求试求当容器内水例2.有一底半径为Rcm,高为hcm的圆锥容器,今以自顶部向容器内注水,位等于锥高的一半时水面上升的速度.解:设时刻t容器内水面高度为x,水的上式两边对t求导，得而故体积为V,则练习：设溶液自深18cm，顶直径12cm的圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形桶中，开始时漏斗中盛满了溶液，已知当溶液在漏斗中深为12cm时，其液面下降的速率为1cm/min，问此时圆柱形桶

4、中液面上升的速率为多少?例3解水面上升之速率4000m五、小结隐函数求导法则:直接对方程两边求导；对数求导法:对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导；参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则；相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的变化率;解法:通过建立两者之间的关系,用链式求导法求解.练习题练习题答案