幂函数的定义

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1、高中数学幂函数的定义编稿老师李斌一校张小雯二校黄楠审核孙溢【考点精讲】1.幂函数的概念：一般地，我们把形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数。注意：幂函数与指数函数的区别。2.幂函数的性质：（1）幂函数的图象都过点；任何幂函数都不过象限；（2）当时，幂函数在上；当时，幂函数在上；（3）当时，幂函数是；当时，幂函数是。【典例精析】例题1已知f（x）＝，m为何值时，f（x）是：（1）正比例函数？（2）反比例函数？（3）二次函数？（4）幂函数？（5）在（4）的条件下，满足在（0，＋∞）上单调递增？思路导航：本题考查函数的定义，需要注意幂函数的系数

2、必须为1。答案：（1）若f（x）为正比例函数，则⇒m＝1。（2）若f（x）为反比例函数，则⇒m＝－1。（3）若f（x）为二次函数，则⇒m＝。（4）若f（x）为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±。（5）若f（x）在（0，＋∞）上单调递增，，∴m＝－1－。例题2已知幂函数f（x）＝（m∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0，＋∞）上是减函数，求满足＜的a的取值范围。思路导航：解答此类问题可分为两步：第一步，利用单调性和奇偶性（图象对称性）求出m的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a的取值范围。答案：∵函数在（0，＋∞）上

3、递减，∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3。∵m∈N*，∴m＝1，2。又函数的图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，第4页版权所有不得复制∴m＝1。而在（－∞，0），（0，＋∞）上均为减函数，∴等价于a＋1＞3－2a＞0或0＞a＋1＞3－2a或a＋1＜0＜3－2a。解得a＜－1或＜a＜。故a的取值范围为{a

4、a＜－1或＜a＜}。点评：本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质。例题3已知m∈N*，函数f（x）＝（2m－m2）

5、·在（0，＋∞）上是增函数，判断函数f（x）的奇偶性。思路导航：（1）幂函数y＝的特点：①系数必须为1；②指数必须为常数。（2）幂函数的单调性：①当α>0时，y＝在（0，＋∞）上为增函数；②当α<0时，y＝在（0，＋∞）上为减函数。答案：由函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数，得或即或∴

6、是自变量，底数是常数。（答题时间：15分钟）1.已知幂函数y＝f（x）通过点（2，2），则幂函数的解析式为（）A.y＝2B.y＝C.y＝D.y＝2.下列命题中正确的是（）A.当时函数的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过点（0，0）和（1，1）C.若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数D.幂函数的图象不可能出现在第四象限3.已知（0.71.3）m＜（1.30.7）m，则实数m的取值范围是（）A.（0，＋∞）B.（1，＋∞）C.（0，1）D.（－∞，0）第4页版权所有不得复制4.已知幂函数f（x）＝xm的部分对应值如表所示，则不等式f（

7、x

8、）≤

9、2的解集为（）x1f（x）1A.{x

10、0

11、0≤x≤4}C.{x

12、－≤x≤}D.{x

13、－4≤x≤4}5.设x∈（0，1），幂函数y＝xa的图象在直线y＝x的上方，则实数a的取值范围是______。6.已知函数（m∈Z）为偶函数，且f（3）

14、。3.A解析：因为0＜0.71.3＜0.70＝1，1.30.7＞1.30＝1，∴0＜0.71.3＜1.30.7。又（0.71.3）m＜（1.30.7）m，∴函数y＝xm在（0，＋∞）上为增函数，故m＞0。4.D解析：由表中数值，可先求出m的值，然后由函数的奇偶性及单调性，得出不等式，求解即可。由（）m＝，得m＝，∴f（x）＝，∴f（

15、x

16、）＝，又∵f（

17、x

18、）≤2，∴≤2，即

19、x

20、≤4，∴－4≤x≤4。5.（－∞，1）解析：由幂函数的图象知a∈（－∞，1）。6.解：∵f（x）是偶函数，∴应为偶数。又∵f（3）

21、又∵m∈Z，∴m＝0或1。当m＝0时，为奇数（舍去）；当m＝1时，为偶数。故m的值为１，解析式为。解析：函数（m∈Z）为偶函数，已限定了必为偶数，又m