第二章台灣高中數學課程中機率統計教與學之研究

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1、第二章文獻述評這一章將由相關文獻中探討與本研究有關的一些重點，包括：(1)機率統計概念之探討(2)機率統計課程之設置(3)機率統計教學之研究(4)機率統計思考之層次等四部分。其中機率統計思考層次的文獻探討，將是筆者提出合乎台灣高中生對機率統計理解層次之泉源。第一節　機率統計概念之棎討概念(concept)代表對事物屬性的抽象化，它是認知發展中最基本的內容。因此，概念在複雜多變的生活環境中，能夠將情境轉化成心理的意義，幫助人類適應環境以提高學習能力。當人們要從事更高層的心理活動時，便可以藉助概念來整理並分類事物與經驗，透過有意義的學習獲得更有效的解決方法。

2、學生之所以對很多課程的學習感到困難，常是因為無法真正領悟到所學內容之常用概念，尤其面對重要的概念之內涵不能理解時，在學習中就會產生很多錯誤理解的現象。因此，筆者認為要使學生對於往後所學內容之順利進行，教學時就必須注意加强相關概念的瞭解。根據概念學習與發展理論，學生對概念的理解會隨著個體認知的發展，由具體層次發展到抽象層次。林生傳(1997)指出，為了使學生能由具體至抽象的學習層次，在課程的編製上須與學生的生活經驗相符合。機率統計概念是學生生活中重要的學習部分，要使學生在機率統計學習上掌握正確的概念，我們就不可忽略學生的概念發展層次。從這個觀點來看機率統計

3、的教學，就必須重視教學前的引導性內容，這就類似於心理學家Ausubel所提出的先行組織者(advanceorganizer)。李士錡48(2001)認為，先行組織者的出發點是提高學習者認知結構中適當概念的可利用性，用最基本的常識性理論概念來勾勒整理輪廓。所以筆者嚐試想藉由對學生概念的掌握，設計適當的課程內容與教學策略，以提昇學生在機率統計學習上的發展。一.機率之各種定義機率概念是用來測量我們所關心事情可能發生程度大小的一種指標，根據文獻上的討論，其意義大致上可分為四種(Hawkins＆Kapadia1984；Konold1991；Shaughnessy1

4、992；Koirala,1998)：古典機率(classicalprobability)，頻率機率(frequentistprobability)，主觀機率(subjectiveprobability)，形式機率(formalprobability)。簡單說明如下：1.古典機率設S是由有限個樣本點所組成的樣本空間，且每一樣本點出現的機會均等(equallylikely)，則事件A在其樣本空間S中之機率定義為A的樣本點個數與S的樣本點個數之比值，亦即。此一定義是法國數學家拉普拉斯(Laplace)於1812年，在其所著機率的分析理論(ThéorieAnal

5、ytiquedesprobabilités)一書中的記載，他最初下的定義是「所求事件的次數占全部可能事件總數之比例」(Koirala,1998)。這是機率發展史上第一次清晰的給出機率的定義，所以又被稱為古典機率(classicalprobability)(Borovcnik＆Kapadia,1991)。根據王幼軍(2007)的觀點，其實早在1774年的論機率一文中，拉普拉斯就給出了機率的定義，即我們在目前的任何一本機率教科書中所稱的古典定義。在定義中假設樣本空間S48是由有限個基本事件所構成，並規定在試驗中每個基本事件出現機會均等，此一規定古典機率非常重

6、要的基礎條件，在這個條件下之機率計算只須用到排列組合，其優點是計算方便而且直觀，因此構成目前高中機率教材的主要內容。2.頻率機率這種機率的計算是由觀察重複試驗之相對次數而來，亦即是根據實驗設計之觀察結果來決定事件發生的可能大小，所以也被稱為實驗機率(experimentalprobability)。王幼軍(2007)指出，機率論公理化的系統最早出現在馮．密歇斯(R.V.Mises)的機率論基礎研究一書中，他覺得在那時候的機率論還不能稱得上是一門數學，為了把機率論改造成一門數學學科，於是將機率建立在具有隨機性質的序列基礎上，也就是把機率定義為相對頻率的極限

7、。馮．密歇斯曾將此種機率定義為：若重複一個試驗n次時，某一結果A出現的次數為，當n增加時相對次數會趨近於某一實數，我們稱為事件A發生的機率，亦即(引自Borovcniketal.1991)。用這種方法雖然可以處理很多事件的機率，但通常必須對所要研究的對象作長期觀測，或者重複比較多次試驗才能得到較為正確的機率，此一觀點結合大數法則的概念在現行中小學數教材是相當重要的部分。3.主觀機率當一隨機試驗不能重複進行的時候，事件A發生的機率可定義為個人對事件A發生的相信程度，此相信程度往往會因人而異，這是20世紀正在發展的主觀機率。例如對於從未比賽過的兩支球隊，誰贏

8、誰輸實在很難下定論，所以只好根據各種資料加以判斷，來認定比賽双方獲勝的機率，這種