课外辅导椭圆的定义与标准方程

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1、圆锥曲线第1讲椭圆的定义与标准方程一．知识点梳理1．椭圆的定义:平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P

2、

3、PF1

4、+

5、PF2

6、=2a，2a＞

7、F1F2

8、}；这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。（时为线段，无轨迹）。2．标准方程：①焦点在x轴上：（a＞b＞0）；焦点F（±C，0）②焦点在y轴上：（a＞b＞0）；焦点F（0,±C）这里椭圆c²=a²-b²注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：mx2+ny2=1（m＞0，n

9、＞0，m≠n），当m＜n时，椭圆的焦点在x轴上，m＞n时焦点在y轴上。二．椭圆的简单几何性质：1.范围（1）椭圆（a＞b＞0）横坐标-a≤x≤a,纵坐标-b≤x≤b（2）椭圆（a＞b＞0）横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a2.对称性椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心3.顶点（1）椭圆的顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）（2）线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴

10、长。4．离心率（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，用e表示，即e=（0＜e＜1）因为a＞c＞0，所以0＜e＜1。e越接近于1（e越大），则c越接近于a，从而b越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0（e越小），c越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。是圆。典型例题例1、利用椭圆定义题1：命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和

11、PA

12、＋

13、PB

14、＝2a(a>0且a为常数)；命题乙：点P的轨迹是椭圆，且A、B是椭圆的焦点，则命题甲是命题乙的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分又不必要条件

15、答案　B变式1、已知F1(-8，0)，F2(8，0)，动点P满足

16、PF1

17、+

18、PF2

19、=16，则点P的轨迹为()A圆B椭圆C线段D直线题2：（2008年浙江）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则．则⊿AF2B的周长为_____变式2、椭圆上一点到焦点的距离为2，为原点，为的中点，求的长.题3、已知是两个定点，,且的周长等于16，求顶点的轨迹方程.变式3、已知圆，定点，若动圆与圆相内切，且经过点，求动圆圆心的轨迹方程.题4、已知：是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，且求的面积.变式4、已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上的任意一点，求的最大值

20、.例2、求椭圆的标准方程题1、已知方程表示椭圆，则k的取值范围是()A-10Ck≥0Dk>1或k<-1题2、求满足以下条件的椭圆的标准方程（1）椭圆经过两点.（2）长轴是短轴的3倍，且过.（3）经过点，且与椭圆有相同焦点.（4）焦点,为椭圆上的一点，是和的等差中项.（5）椭圆的一个顶点和一个焦点分别是直线与两个坐标轴的交点.（6）以菱形不相邻的两个顶点为焦点，且过菱形的另两个顶点，已知菱形的边长为4，顶角.例3、求离心率题1、椭圆的左右焦点分别是F1、F2，过点F1作x轴的垂线交椭圆于P点。若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为_

21、________题2、已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的的离心率为_______课内练习与训练基础题：1.如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A、（0，＋∞）B、（0，2）C、（1，＋∞）D、（0，1）2.椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是（0，2），那么k等于（）(A)－1(B)1(C)(D)－3.（2008全国Ⅰ）在△ABC中，∠A＝90°，tanB＝．若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e＝．4.（2011江西，14,5分），过点（1，）作圆+=1的切线，切点分别为

22、A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是.5.求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)焦点在坐标轴上，且经过两点、；(2)经过点(2，－3)且与椭圆具有共同的焦点.6.如图，已知椭圆，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.（1）若∠F1AB=90°，求椭圆的离心率；（2）若椭圆的焦距为2，且，求椭圆的方程.