已修-一类双曲型方程弱解的正则性

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1、一类双曲型方程弱解的正则性贺宣军，宋文静，夏子伦•郑忠志（云南民族大学数学与计算机科学学院，昆明650500）摘要：在偏微分方程的研究过程屮，关于方程弱解正则性的研究是一个菲常彳j价值的研究领域。在一定的假设条件下，利用一些方法利技巧，我们可以获得一类偏微分方程初边值问题弱解的正则性。这些方法技巧包括：Galerkin逼近法，弱收敛，sobolev不等式等。关键词：双曲型方程；」E则性；弱收敛；伽罗金逼近中图分类号：029文献标识码：ARegularityofTheWeakSolutionsfo

2、rAClassofHyperbolicEquationsHEXuan-jun,SONGWen-jing,XIAZi-lun（SchoolofMathematicsandComputerScience,YunnanNationalitiesuniversity,YunnanKunming650500）Abstract:Inthestudyofpartialdifferentialequations,researchontheregularityofweaksolutionsisaveryvalua

3、bleresearchfield.Bymakinguseofsomemethodsandtechniques,studyingtheinitial/boundary-valueproblemtoabovehyperbolicequations,theregularityoftheweaksolutionscanbeobtainedundercertainconditions・ThemethodsandtechniquesincludeGalerkin-approximation,theweakc

4、onvergence,Sobolev-inequalities,etc・Keyword:thehyperbolicequations;regularity;theweakconvergence;Galerkin-approximation引言Sobolev空间理论的建立，使相关的其他学科（如泛函分析，实变函数，调和分析等）的知识恰当地应用到当代偏微分方程理论研之中。当代偏微分方程解的研究总会在合适的泛函空间中考虑其弱解的性质，而sobolev空间的引进（参看文献［1-2］）则为这一研究提供了冇效

5、的方法。借助sobolev空间，可以在更广泛的函数类中寻求方程的解，使得町解性变得容剔而这种解被称为“弱解”或“广义解”。本文给出了二阶双曲型方程：ult+Lu=/,xeUr

6、同时与时间f有关，只要对系数稍加限制便可获得为文献［2］同样的结论。准备知识本文设UuR"是一有界开集，6U光滑，（77.=（7x［O,T］（T为某一固定时间），函数f:UT^R2知；初边值函数g,h:U—R己知，两数ir.U^^R未知。与时间f有关的偏微分算子三+厶是双曲型算子，即存在常数&〉0,使得：drX»。

7、畀，v（xj）丘1/丁,§wR'。iJ=也就是说，与吋间有关的偏微分算子厶是一满足上述已知条件的椭圆型算子，且厶具有散度形式：厶“=一工（刃（X』见）与+丫//（兀』）％+C（x

8、,t）u,（2）i,j=l''/=!f这里的系数abc满足拓宽后的条件。取一组光滑函数叭=叭（对,伙=1,2,...）满足｛叫｝二是比©）的正交基（但不是标准的）只｛叫｝二是厶2©）的标准正交基（这种基的存在性参考文献［2］中的§6.51）。这里H；（U）和芒（〃）是无限维的，现在转到有限维空间上处理问题。固定加为一正整数,贝0｛吗32,•・・,％｝是民0）中血个线性无关的函数,由此便张成一加维的H（［/）的线性子空间span［wl,w2,...,wm｝.在s“〃7｛吗，怜…,叫｝空间上找

9、到一个函数使得：<%（°）=g”Vv,„gspan｛vv,,w2,...,vv„,｝ya.e.O