大学生数学竞赛模拟试卷答案

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1、黄山学院首届大学生（非数学专业）数学竞赛试卷答案装订线题号—・二三四五-JL-八七总分统计人分数得分评卷人a=—7i；b=0_；一、填空题（毎小题4分，共20分）JX?X<—I1.设函数/(x)=-2设八°）存在，且如"则吧先总小存（°）;3设a=2,b=>/2,且ab=2、贝!)axb=2；OO84.设色＞0（n=l,2,…），且数列｛色｝单调，若级数工Jd/曲，收敛，级数工匕n=l/t=l是收敛还是发散？收敛;5.由曲面Z=-分-y2,Z=J1-F—y2及z=匸工围成一立体，其上任一点的密度与此点到0z轴的

2、距离Z平方成正比（比例系数为R）,则该立体质量M等于12得分评卷人二、选择题（每小题4分，共20分）6.函数/(x)=xsin—,在兀=0处(A)X（A）极限存在;（B）连续;（C）可导;（D）可微.7.若/(x)、g(兀)均可导,且/(兀)Vg(x),则有(B)成立『/(/)力『g⑴力(A)f(x)g(—x)；ff{t)dt

3、)=xy+jj/(w,v)dud\其中D是由y=0Dy=xx=所围区域，则/(x,y)等于(D)o(A)xy；(B)2xy:(C)xy+1；(D)10.设函数p(x),q(x),f(x)都连续,且y=c{y{(x)+c2y2(x)+y3(x)是非齐次线性微分方程+p{x)y+q(x)y=f(x)的通解,则(B).(A)+y2-y3是方程的解;(C)儿％』3可能线性无关,也可能线性相关;(B)必,％，%线性无关；(D),y2,线性相关.得分评卷人三、解答题(60分)11.求极限lim(丄+2+2+・・・+岂二);"T822-232"二％—1解：考察级数工二由正项级数的比值法,

4、a=i2lim丝单•丄I二lim包也=-<1htoo2"十2/7-1宀°4刃一22二％—1则级数工竺F收敛，它的和等于所求的极限，……(2分)q2记心，竽'则2"£韶=£罗’两式相减得……(5分)k=lLk=厶k=02-2k+l十2£—1A-厶一帚Z，一1k=0/k=l厶(9分)8［8］=1+工时=1+工厂1+2=3k=］乙k=也故lim（++咅+拾+・・・+^1）=3……（io分）“too22-22"12.设/(x)在［0,1］±有二阶导数，且/(1)=/(0)=/(1)=/，(°)=0>证明：存在化(询使得厂(§)=/(§)..证明：令F(x)=(/z(x)-f(x))e

5、x(3分)则F(兀)在［0,1］上可导，且F(l)=F(0)=0,根据罗尔定理，存在兵(0,1),使F©=0,即(厂(§)-/(§)疋=0……(8分)由于/工0,故有厂（§）=/（§）……（10分）ZZdz13-设"(3)由方程"+严+产0给出，且F,z都可微，证明:dzdx证明:由隐函数存在左理，得dz_Fadz_FydxFz'dyFzzz令u=x—*=y—,贝ij(4分)y%dztdzFxFyxFx+yFydxdyFzFzFzzz班代-7代）+心「歹代）xy(xFu+yFJ-z(xF“+)迟,)xFu+叭=z-xy（10分）14.求点M0(x0,y0,z0)到平面/U十By+

6、Cz+£>=0的距离•解：由题意，应该求函数J2=（%-x0）2+（y-y0）2+（z-z0）2在条件Ar+Ey+Cz+D=0下的极值。……(2分)设F(x,y,z)=(%-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)24-2(Ar4-By+Cz+£>)(4分)求偏导数得亦a7aF¥aFaraF=2(y—儿)+恋=0=2(z-Zo)+AC=0（6分）Ar+Bv+Cz+£>=0J解方程组得x=x.-^AA；y=y{}-^AB；z=z()-

7、AC；兄=2⑷営眷：：；十巧所以代入〃2=（兀一x（））2+（y-y（））2+（z-z（））2中可得d-禺（）］砒）+Cz（）td

8、（8分）7a2+b

9、2+c2当x,y,z屮有任意一个趋于无穷时，"Too。因此，在区域内d必取最小值。于是，点Mo（%）b，z（））到平面的最短距离为dJA^+Byo+Czo+Dl。……（⑷分）a/A2+B2+C215.设为连接4（0,0）,3（1,1）的某一曲线弧，且QB与直线段而所包围的图形面积为丄，殛与只3除A,B外无其它交点，只3自身也不相交，计算曲线积分2J（“siny-my^dx+（Hcosy一加）dy・AB解：若弧以B在而的上方，可设弧入B与直线段亦所包围的图形为D,因为(2分))dy