模型及广义派克方程

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1、附录1交流异步电机多变量数学模型及广义派克方程在对交流电机暂稳态特性进行分析和控制时，坐标系的选择是一个重耍的问题，即采用何种坐标系才能更简便地给岀分析结果和更准确地控制系统动静态特性的问题。自从勃朗台尔（Blondci）提出双反应理论（1899年）及福提斯库（Fortescue）提出对称分量法（1918年），到派克（Park）提出旋转变换（1929年）及顾毓壬秀（Ku）提出复数分量变换（1929年）以来，交流电机分析理论H渐成熟，各种坐标系（0、0、0,d、q、0,1、2、0,F、B、0等）下的的电机模型种类繁多，这些模型在分析电机过渡过程时所得的结论己为大家熟悉川⑵。尽管数字计

2、算机的应用为庞大的数值计算提供了有力的工具，使得我们能够解决越来越复杂的问题，但在实时控制系统当中，人们还是希望用简易的模型和方法取得接近满意的效果。上述各种坐标变换无疑使三相电机的分析和控制大大简化，但是，既然线性变换不改变系统的物理特性，那么各种坐标系下的电机模型之间就应该存在着本质的联系，而不应被完全割裂开来，这种关系是怎样的呢？这就是广义派克方程要回答的问题。本节从三相异步电机出发，通过严格的数学坐标变换导出在静止坐标系下的等效电机模型，进而推广至任意坐标系下即得广义派克方程，并把己知的各种坐标变换加以总结和统一。广义派克方程简单易记，由它可方便地引申出众所周知的Q、0、0

3、,d、q、0,1、2、0,F、B、0等坐标系下的电机模型，在电压型或电流型逆变器给电机供电时，还导致了一些新的控制方法的产生。一、三相电机模型首先让我们看一下异步电机的动态电磁关系。设所要分析的三相异步机具有图1-1所示模型结构，并满足下列条件：1）电机定、转子三相绕组完全对称；2）电机定、转子表面光滑，无齿模效应；3）电机气隙磁势在空间中正弦分布；4）铁芯的涡流饱和及磁滞损耗忽略不计。S2q图i-i三相异步电机模型如取定、转子各电磁量的正方向符合电动机法则，则异步电机的基本电磁关系可由方程(i-i)表示：[u]=[Rli]+p[y/](1-1)其中"]=[%%%%%urc]!P]

4、=[f[R]=Diag[RsRsRsRrRrRr]r「讪一「匕J[s⑹]]仏]]仏⑹]LrrJ在磁通表达式屮，各子向量和子矩阵分别为:[订=匸•/~LMM1SSSS[S]=My陆MMsL-[几]=}rahe.TMrM；[才M,・-Mr网Mr[妙」=l^ra忤0“]'COS&cos&+COS&C4龙)cos&+——I3)L2/rI3丿srcos0+COS&+纠I3)cos0各变量及参数的定义见附录。因为电机转子是转动的，所以［Ls」、［lJ中的角度在不断变化，电机电压和转矩方程分别为：(1-2)(1-3)[u]=[Rli]+[Lli]+e^[Lli]心=挣]鶴[厶』：]+叮鶴[讥

5、]}二、坐标变换山方程(1・1)、(1-2).(1-3)可知，即使在简化的情况下，这些关系也是很复杂的，山于电感系数是随时间变化的，因此，利用这些方程来研究电机的运行相当困难。首先让我们纯粹地从数学意义上來看如何化简方程(1・1)中的系数矩阵，例如［4,］0此矩阵为对称矩阵，我们冃的是通过适当的坐标变换矩阵［C］使英化简，具体讲即对角化。为使矩阵对角化，首先须求出矩阵的特征值，即令：加％］-川］卜0展开得:Lss-2厶$-2=0Lss-Q&-2)'+町-一2)即:=(Lss-A-Ms)2^-Ls-2Ms)=0解得重根：厶=Lss-Ms等效两相定子自感。单根：L®=L,,+2M,等效

6、零轴电感。Z■变换后的电感矩阵为：Lsn=Ls厶$o将特征值&、厶0代入矩阵［厶J所表示的方程组中可解得对应的特征向量应满足的关系式:(1-4)对应于重根A=Lss-Ms,有X}+X2^-X3=0对应于单根2=&$+2M$,有=X2=X3(1-5)因为任何性线变换均不改变系统的物理本质，根据能量守恒定律，变换前后的能量表达式应该是相等的，即：［色丁上］二bmJcyMGv］。由此得出［cf［c］=［i］,即：［c『=［c］1,可见［C］必为正交矩阵。我们又知道，两相电机和三相电机一样，也同样可以产生旋转磁场，这也为变换后的电感系数矩阵所证明，它包含一个零轴等效电感的和一个两相等效电感

7、。现在我们就和用三相电机和两相电机之间的关系来确定变换矩阵［C］的值。设有如图1・2所示的两个电机，等效两相电机的定子绕组为注意：这里我们借用了大家所熟悉的0,3,0坐标系的符号，但意义是不同的。图1-2等效两相电机模型设①,®分别为两相和三相电机绕组的有效匝数，等效的条件是气隙中产生的磁通相等，即：=B2mo而:2龙4tt场加二灿叽C0S+n.ishcos(—一鸭)+gsccos(—一0)}sa££^5C如3