等内切圆定理的解法探究

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1、【等内切圆问题的解答探究】※※※※※※※※等内切圆问题的解答探究[键入文档副标题]Administrator金占魁尺规作图系列丛书11【金占魁系列丛书】【等内切圆问题的解答探究】※※※※※※※※等内切圆问题的解答探究金占魁湖北随县第一高级中学写在前面的话这个暑期酷热而慢长，闲寂室内，偶翻昔日的读书笔记，忽然有一股想把所学知识系统归纳的冲动。想到了就干起来。第一个系列是阿波罗尼奥斯问题，共四篇，它们是：《解法基础》、《常规解答》、《特款解法》、《名家解法》。第二个系列是尺规作图中的偏锋杂题：《等内切圆定理的解答探究》

2、、《同时等分面积周长问题的解法探究》、《索迪圆的作法探究》。需要说明的是，由于本人的笔记中鲜有原著原作者的记录，当时只为了省事为了记重点，所以本系列书丛中，不说明其引用来源和出外，在此向原著作者表示歉意，同时也表达自己对原作者们的崇高敬意!谢谢他们的辛勤付出!本文作图力求简约，隐藏了旁条斜枝，尺规基本作图法也是一带而过，比如作△ABC的外接圆，我会叙述为：作⊙(ABC),而不是“作△三边的中垂线，它们的交点为O，再以O为圆心以OA为半径作圆”，若是这样的话，它会浪费你的宝贵的阅读时间的。同时为叙述简洁，解答部分先作

3、如下约定：圆的记法：⊙(ABC)---表示过A、B、C三点的圆或△ABC的外接圆。⊙A(R)----表示以A为圆心，R为半径的圆。示例，⊙A(R-r)--表示以A为圆心，(R-r)为半径的圆。⊙A(BC)---表示以A为圆心，BC为半径的圆。上面的叙述与“几何画板”作图有关。注意!本书不采用这种记圆法：⊙(O，R-r)-----以O为圆心，以R-r为半径的圆。⊙O(ABCDF)-----A、B、C、D、F多点共圆于⊙O。还有就是本系列丛书中，没有作弧的说法，全部改为作圆了。作圆的目的可能是为了作另一圆的切线，亦或者

4、是为了截取线段的长，这可能对读者带来不便，请读者们谅解!2019年7月于随州11【金占魁系列丛书】【等内切圆问题的解答探究】※※※※※※※※一、等内切圆问题简介：问题1：在△ABC的BC边上求一点D，使△ABD、△ACD的内切圆为两等圆。该问题最早出现在日本某神社的算额上，被称作三谷(Sangaku)问题。大意是：今有如图之内隔界斜，容二等圆。知中斜257寸，小斜68寸，界斜40寸，问大斜几何？答曰：大斜315寸。其解法是：大斜=(中斜+小斜)2-4×界斜2这个公式是怎么来的呢？如图，设AD=x，BD=y，CD=z

5、，其中y+z=a。△ABD、△ACD的公共高设为h(未画),两等圆的半径设为r。一方面：S△ABDS△ACD=12c+x+yr12b+x+zr=c+x+yb+x+z另一方面：S△ABDS△ACD=12yhh12zh=yz所以有：c+x+yb+x+z=yz即zc+x=y(b+x)又因为y+z=a,所以y=(c+x)a2x+b+c，z=b+xa2x+b+c………………(1)设∠ADB=α，∠ADC=β，则α+β=180°，所以cosα+cosβ=011【金占魁系列丛书】【等内切圆问题的解答探究】※※※※※※※※由余弦定

6、理得：x2+y2-c22xy+x2+z2-b22xz=0,……………….(2)由(1)、(2)化简得：x2=12b+c+a×12(b+c-a).这就是算额的公式。一、问题1的尺规作图法有了公式x2=12b+c+a×12(b+c-a)，就可以确定D的位置了。问题1的作法一如下：1、作△ABC的旁切圆⊙O′，切点为E。目的是BE=12b+c+a，CE=12(b+c-a)，转化为x2=BE×CE,即x是BE、CE的比例中项。2、过C作CF⊥BC，交以BE为直径的圆于F，连结EF,则x=EF。3、作⊙A(EF)，交BC于D

7、，(另一交点不取)。则线段AD即是所求。从而就可作△ABD、△ACD的内切圆⊙O1、⊙O2三、帕特森Paterson 的解法时间到了1936年，美国人帕特森也提出了“等内切圆问题”，他采用了先作两个内切圆，再定AD的方法。设△ABC、△ABD、△ACD的内心分别为O、O1、O2。过B、C分别作AO1、AO2的平行线，两平行线交于A′，由于△AO1O2∽△A′BC，位似中心为O，所以A′在直线OA上。又因为∠BA′C=12∠BAC，所以A′在以BC为弦所含弓形角为12∠BAC的圆弧上。这样圆弧与直线OA的交点A′就可

8、以确定了。倒过来，O1、O2也就可以确定了。11【金占魁系列丛书】【等内切圆问题的解答探究】※※※※※※※※问题1的作法二如下：1、作△ABC的内心O，再作△ABC的外接圆，交BC的垂直平分线于E，作⊙E(EB)交直线OA于A′。2、过A作AO1∥A′B交OB于O1，以AO1为对称轴，直线AB关于AO1的对称直线交BC于D。则线段AD即是所求。四、更上一层楼