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1、第十六章二次根式16.1二次根式-X二次根式的定义一般地，我们把形如需（qmo）的式子叫做二次根式。其中”叫做二次根号。二次根号下的％”叫做被开方数【注】正确理解二次根式的概念，要把握以下几点：①二次根式是在形式上定义的，
2、必须含有
3、二次根号“J”。如扬是二次根式，虽然74=2,但2不是二次根式。②二次根式的
4、被开方数可以是一个数字，也可以是一个代数式
5、,但
6、必须满足被开方数大于等于0
7、,即a^O.如Jp2_i由于被开方数小于0,所以它不是二次根式。③“的根指数为2,
8、即这里的2可以省略不写，写作注意，不可误认为根指数是“1”或“0”。④
9、形如b需（w>0）的式子也是二次根式，它表示与丽的乘积，与单项式书写类似，当方是假分数时，要写成带分数的形式。【方法总结】：判断一个式子是不是二次根式，一定要紧扣定义，看所给的式子是不是同时具备二次根式的两个特征：（1）带二次根号（2）被开方数大于等于0（非负数）。
10、不满足其中任何一个条件，它就不是二次根式。※※※丨二、二次根式有意义的杂件l^从总体上描述：在二次根式需中，当aMO时，需有意义；当时，循无意义。2、从具体的情况总结，如下：(1)单个二次根式如顶有意义的条件是A>0■B^O(2)多个二次根式相加如斥+有意义的条件：）•••N
11、MO(3)二次根式作为分式的分母如令有意义的条件是：A>0■9(4)二次根式与分式的和如有意义的条件是:ramoBH0【方法总结】判断含完全平方的被开方数是否是非负数的一般方法：（竹如果被开方数是一个完全平方数与一个非负数的和的形式，显然这个被开方数是非负数，因此它必然是二次根式，如式子仏+1卩+2；（2）如果被开方数是一个完全平方数的相反数，那么只有当底数是0时，被开方数等于0,式子才是二次根式，如J・（x・2）2,只有当兀=2时，这个式子才是二次根式；（3）如果被开方数是一个完全平方数的相反数与一个负数的和的形式，显然这个被开方数是一
12、个负数，如J-（,2）2_2,这样的式子不是二次根式；（4）对于被开方数是多项式的情况，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成完全平方式的形式,并进行分析讨论，如厶2_2“3需先化成J（jv・1）2+2探※※三、二次根式的性质1、性质1:式子石（,/>0）具有双重非负性：它既表示非负数，又表示非负数°的算术平方根具体描述为：（1）需是一个非负数需的最小值为W（3）罷的被开方数a是一个非负数。注意：几个非负数的和为0吋，这几个非负数必须同
13、］寸为0・2、
14、性质2：（需卜血no）,即一个非负数的算术平方根的平方等于菇耳。注意：不要忽略cdO这一
15、限制条件，导致类似（^=-4的错误。3、性质3：历即当一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于它本身，可记为历=dano）；当一个数为负数吋，它的平方的算术平方根等于它本身的相反数，可记为历=勺（0〈0）。探※【重点剖析】：&与砺『的区别与联系表达式历=4区意义不同&表示实数/的算术平方根（需j2表示非负实数a的算术平方根的平方取值范围不同a为任意实数a>0别运算结果不同Q=
16、彳二Ja(a>0),{/of=c(a>d)运算顺序不同&表示对实数Q先平方再作开平方运算{fif表示对非负数d先开方再作平方运算联系&与（VZ）2均为非负数，且当
17、co吋，&=（需『知识拓展
18、：逆用公式（需）2二即a=（fif（a>0）可以把一个非负数写成一个数的平方的形式,从而把因式分解推广到实数范围内，例如3=/一（侖尸=（兀+侖b-VJ）四、代数式1、定义:用基本的运算符号（基本的运算符号包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式。代数式可以简明的表示出数量和数量之间的关系，也能真实客观地展现出实际问题中的数量关系。［重点剖析1狀数式是数与字母之间的运算关系，代数式中只能含有加、减、乘、除、乘方、禿方运算符号，不能含有“>”“<”“*“5"“工”或等关系符号。2
19、、根据实际问题列代数式的一般步骤：（1）要认真审题，对语言叙述中的关键词语（如“除”与“除以”、“平方差”与“差的平方”等）所代表的意义进行仔细辨析；（2）要分清语言叙述中各数量之间的和、差、倍、分等关系；（3）根据各数量之间的运算关系及运算顺序写出代数式。3、列代数式常用的方法：（1）直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式（2）公式法：根据公式列出代数式（3）探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来16.2二次根式的乘除一、二次根式的乘法一般地，对二次根式的乘法法则是：罷•丽二妬(QMO,bMO)
20、,语言叙述为
21、：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不交【注意】：乘法法则中被开方数b都必须是非负数［重点剖析］(1)
22、二次根式相乘的结果是一个二次根式或者是一个有理式(2)如果没有特别说明，本章中所有
