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《实用圆切线方程的证明》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、关于圆的切线方程及相关公式的证明点P(x0,y0)在1、在圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2±,贝U过点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2或(x0-a)(x-x0)+(y0-b)(y-y0)=0证明：TPS）在圆上，S）2+（沁甘，圆心gb）,OP的斜卸=三—a・••切线的斜率为-切线方程F—儿二——3—如)k-°(心-&)O-丸)+@0-4(y-y°)=°①(Xo-a)2+(yo~b)2=r2②①+②得出(Xo—a)(X—Xo+xo—a)+(yo-b)(y—yo+yo—b)=r2(x()_a)(x-a)+(y0
2、—b)(y—b)=r22、在圆的特殊方程x2+y2=r2±，贝U过点P(x°,yo)的切线方程为xox+yoy==r2(当a=0,b=0)3、在圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上，则过点P(x0,y0)的切线方程为xox+yoy+DX(x+)+EX证明：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D、2化成圆的标准方程（D、2•・・p（x（）,yo）在圆上，（心+―）D2+E2-4尸4D2+E2-4F,OP的斜率切线方程D%+0X-7o=F&一召)E—（丸+—）-业）+（y0+亍）3-儿）=o①区+少+伉+孑m①+②得出（D、（D、（E、（E、D
3、?+E'2—4卩（X。+—）+召+—）+（儿+㊁）（y-儿+儿+㊁）二E2如切DX（牛）+EX（¥）+M2二、点、P（xbyi）在圆外1、切线长刃=J（心一評+（儿一方尸一7(标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2)证明：用勾股定理。切线长刊=+打+加]+&]+尸(一般方程x2+y24-Dx4-Ey+F=0)★圆上切线圆外弦(2)XiX+yiy+DX(x+x{y+兀2)+EX(2证明：把圆的方程整理成标准方程，用勾股定理。2、过切点AB弦的直线方程(1)(xra)(x-a)+(yrb)(y-b)=r2(弦方程)(标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2)(x0-a)
4、(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(W线方程)+F=0(一般方程x24-y2+Dx+Ey4-F=0)(弦方程)xox+yoy+DX(「A)+EX(上二勺)+F=0(切线方程)22证明(1)：设切点A(x()i,yoi),B(x()2,yo2)'过切点A、B的切线方程为(x°i_a)(x—a)+(yoi_b)(y—b)=r(x02—a)(x—a)+(y()2_b)(y—b)=r2•・•两条切线均过Pgyi)则(xoi—a)(xi—a)+(Yoi—b)(yi—b)=r2①(x02—a)(X]—a)+(y()2—b)(yi—b)=r2②rfl①②式得出点A(x()i,
5、yo]),B(x()2,yo2)满足线性方程(X—a)(X1—a)4-(y—b)(y〔_b)=r因此AB的直线方程(xi—a)(x—a)+(yi—b)(y—b)=r2证明(2)：x2+y2+Dx+Ey+F=O设切点A(x()i,yoi),B(x()2,yo2)'过切点A、B的切线方程为X+^01y+FoiXoiX+y°iy+DX(’)+EX(2)+F=0X+如2y+7o2X02X+yo2y+dx(2)+ex(2)+F=0•・•两条切线均过P(Xi,yJ2+如1a+儿1x()iX
6、+yoiyi+DX(2)+EX(2)+F=0小++儿2X02X1+yoiyi+DX(2)+
7、EX(2)+F=0①②由①②式得出点A(x()],yoi),B(x°2,yo2)满足方程%+X]y+ZiXiX+yiy+DX()+EX(?)+F=0因此该方程为AB的直线方程。3、两圆x2+y2+D]X+Eiy+Fi=0和x24-y2+D2x+E2y+F2=0相交，其公共弦的方程为(D1-D2)x+(Ei-E2)y+(Fi-F2)=0证明：设交点A(xi,yj,B(x2,y2),分别代入两个圆的方程xp+yr+DiXi+Eiyi+FirO①x1~+y1JDqXi+E?yi+F2=0②①—②得(DrD2)x!+(Ei-E2)y】+(F】-F2)=0同理把B(x2,y2)
8、代入得(D1-D2)x2+(E1-E2)y24-(F1-F2)=0可见点A(xi,yj,B(x2,y2)满足线性方程(DrD2)x+(ErE2)y+(FrF2)=0因此该方程为AB的直线方程。三、过两点为直径圆的方程过A(xi,yj,B(X2』2)两点为直径的圆，其方程为(x-x!)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0证明：取圆上任意一点M(x,y),MA丄MB(M与A、B点重合除外)。总有MA2+MB2=AB2成立(X—xj)2+(y—yj)2+(x—x2)2+(y—y2)2=(x2—xi)2+(y2—yi)2(x-xi)2-(x2-x1)2
