闭区间上二次函数的单调性与最值

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1、专题1:闭区间上二次函数的最值问题编者：陈清华函数的最值问题是一类常见的问题，许多函数的最值问题都能转化为闭区间上二次函数的最值问题，因此有必要进行专题探究定函数与定区间的最值问题(1)求函数f(x)=x2-4x一1在区间［1,4］上的最值(2)求函数f(x)=x2-4x-在区间［4,5］上的最值(3)求函数/(x)=x2-4x-1在区间［—1,1］上的最值解：⑴抛物线的开口向上，对称轴为2所以/⑴在［1,2］上单调递减，在［2,4］上单调递增,所以/(x)min=/(2)=-5；/(x)max=max(/(1),/(4))=/(!)=-!

2、解：(2)抛物线的开口向上，对称轴为兀=-—=2,所以/(无)在［4,51±单调递增，所以2a/(•%=/(4)7/«ax=/(5)=4解：(3)抛物线的开口向上，对称轴为x=-—=2.所以/(兀)在［-1,11±单调递减，所以2a/«in=/(D=/«_=/(-!)=4:二次函数在闭区间［加，旳上的最值只有两种可能:(1)区间端点的函数值;(2)顶点的函数值.何时取得最值受两个因素制约：(1)开口方向；(2)对称轴与闭区间的位置关系.第一类问题解决这类问题可以遵循以下步骤：(1)根据开口方向、对称轴，画出闭区间上二次函数的图像;(2)根据图

3、像，从顶点和两个端点函数值中选出最大、小值.题型2定函数与动区间的最值问题求函数f(x)=x2-4x-l在闭区间［1,a］的最值.解：抛物线开口向上，对称轴为直线x=2,左端点关于对称轴对称点为3.对d（隐含a>1）的取值进行分类讨论：（1）当13时，/

4、（兀）在［1,2］上单调递减，在［2,可上单调递增，且右端点距对称轴较远（如图）,所以/（叽/（叽X=/(2)=-5,=max(/(l),/(6f))=f(a)=a2-4a-l综上所述:/(叽nf(a)=/-4a-1,(1vaW2)/(2)=-5,(a>2)/（叽/(1)=-4,(1<^<3)f(a)=a2-4a-l,(tz>3)评折若函数f（x）=x2-4x-l在闭区间［1,a］的最小（或最大）值为/（a）,求a的取值范围.:这是闭区间上二次函数最值问题中的第二类问题已知具体二次函数的解析式及含参闭区间,求二次函数的最值。解此类问题的数学思

5、想是分类讨论和数形结合•将第二类问题转化为第一类问题:第二类问题I分切论〉

6、第一类问题数形结介分类讨论的要点是，首先考虑“对称轴横坐标在闭区间内还是外”；如果对称轴横坐标在区间内，那么还有考虑“闭区间的两个端点到对称轴的距离的大小关系”题型3动函数与定区间的最值问题匪求函数/（x）"_妙-1在闭区间［1,4］的最值.解：由题意可知：二次函数图像开口向上,对称轴为直线*即闭区间的中点好（1）当土51即a<2时,/（兀）在［1,4］上单调递增，所以/(X)min=f⑴=-Q/«ax=/(4)=15-4^⑵当IV齐

7、即255时，心在上单调递减,在

8、

9、,4上单调递增，且右端点距离对称轴较远，所以/（叽=f/2aa—ZZ(2丿4/(x)nm=max(/(l),/(4))=/(4)=15—4a⑶当

10、v誉4即5<心时，g在岭上单调递减,在討上单调递增,且左端点距离对称轴较远，所以/(Qnin=fa、2>/«ax=max(/(l),/(4))=/(l)=-6/(4)当纟>4即tz>8时,2/（兀）在［1,4］单调递减,所以/(九n=/(4)=15-4a,/(X)max=/(l)=-tZ综上所述/(1)=-6Z,(6Z<2)(、2f(^n=f-=---l/2

11、,(^>8)J/(4)=15-4g心5)J(X)max~I/(1)=一认>5)求函数f（x）=ax2-4x-1在闭区间［1,4］的最值.解：1.当d=0时，一次函数/(x)=-4x-l在［1,4］上单调递减，所以/U)min=/(4)=16^-17=-17/(X)max=/(1)=。一5=-522.当qhO时，二次函数/（劝开口方向未知，对称轴为直线x=-a7（1）当avO时,开口向下且-<1,所以/⑴在［1,4］上单调递减,所以a/（^）min=f⑷=16—17/«ax=/d）=^-5（2）当Q>0吋，分以下几种情况：①当一<1即a>2时,

12、/（X）在［1,4］±单调递增，所以a2/（x）在彳,4上单调递增，且右/«ax=/(4)=16^-17②当1<-<-BP-<^<2时，/（兀）在1,-上单调递减,