常微分方程§5.1存在唯一性定理

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1、第五章线性微分方程组§5.1存在唯一性定理一、线性微分方程组的有关概念1线性微分方程组的定义定义形如的微分方程组,称为一阶线性微分方程组.称为(5.1)的通解.2函数向量和函数矩阵的有关定义(1)n维函数列向量定义为注:对向量或矩阵的代数运算的性质,对于以函数作为元素的矩阵同样成立.(2)函数向量和矩阵的连续,微分和积分的概念可微函数可微可积函数可积此时,它们的导数与积分分别定义为注:关于函数向量与矩阵的微分,积分运算法则,和普通数值函数类似.(3)矩阵向量的范数定义(4)向量或矩阵序列的敛散性(一致收敛),(一致收敛).(一致收敛),(一致收敛).如果上一致收敛.3一阶线性微

2、分方程组的向量表示对一阶线性微分方程组:则(5.1)可写成(1)定义1(2)定义2初值问题例1验证向量是初值问题解:显然4n阶线性微分方程的初值问题与一阶线性微分方程组的初值问题关系对n阶线性微分方程的初值问题若令:则有:而且:即方程(5.6)可化为显然:且:事实上,由知即且即初值问题(5.6)与(5.7)的解等价,即给出其中一个初问题的解,可构造另一个初值问题的解.例2将初值问题化为与之等价的一阶微分方程组的初值问题.解:设则有即有也即注:每一个n阶线性微分方程可化为n个一阶线性微分方程构成方程组,反之却不成立.如:方程组不能化为一个二阶微分方程.二、存在唯一性定理1存在唯

3、一性定理2存在唯一性定理的证明证明共分五步完成第一步第二步证明向量函数在区间上有定义且连续．命题２第三步由考虑向量函数项级数：设则第四步设即证明积分方程的连续解的唯一性.第五步３n阶线性微分方程的解存在唯一性定理推论作业P1841,2(b),3